¿La aversión al riesgo provoca una utilidad marginal decreciente, o viceversa?

Question

Dejemos que $A$ sea el conjunto de los posibles estados del mundo, o de las posibles preferencias que puede tener una persona. Sea $G(A)$ sea el conjunto de "apuestas" o "loterías", es decir, el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre $A$ . Entonces cada persona tendría una ordenación preferida de los estados en $A$ así como una ordenación preferente de las loterías en $G(A)$ . El teorema de von Neumann-Morgenstern afirma que, asumiendo su ordenación de preferencias sobre $G(A)$ obedece a ciertos axiomas de racionalidad, sus preferencias pueden ser representadas por una función de utilidad $u: A → ℝ$ . (Esta función es única hasta la multiplicación de escalares y la suma de constantes). Esto significa que para dos loterías cualesquiera $L_1$ y $L_2$ en $G(A)$ , usted prefiere $L_1$ a $L_2$ si y sólo si el valor esperado de $u$ en $L_1$ es mayor que el valor esperado de $u$ en $L_2$ . En otras palabras, se maximiza el valor esperado de la función de utilidad.

Ahora bien, que se maximice el valor esperado de la función de utilidad no significa que se maximice el valor esperado de cosas reales como el dinero. Al fin y al cabo, la gente suele tener aversión al riesgo; se dice que "más vale pájaro en mano que dos en el monte". La aversión al riesgo significa que se valora menos una apuesta que el valor esperado del dinero que se ganará. Si expresamos esta noción en términos de la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern, obtenemos el siguiente resultado a través de la desigualdad de Jensen: una persona tiene aversión al riesgo si y sólo si su función de utilidad es una función cóncava de su dinero, es decir, la medida en que tiene aversión al riesgo es igual a la medida en que tiene una utilidad marginal decreciente del dinero. (Véase la página 13 de este PDF .)

Mi pregunta es, ¿en qué dirección va la causalidad? ¿Los valores de la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern reflejan la intensidad de sus preferencias, y la aversión al riesgo se debe a que se descuentan las preferencias de los futuros yos que son acomodados en comparación con las preferencias de las futuras versiones de uno mismo que son más pobres y, por tanto, valoran más el dinero (como sugiere Brad Delong aquí )? ¿O la causalidad va en sentido contrario: su tolerancia al riesgo determina la forma de su función de utilidad, de modo que la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern no le dice nada sobre la intensidad relativa de sus preferencias?

Answer 1

Creo que he encontrado una respuesta a mi pregunta, en este extracto del trabajo del premio Nobel John C. Harsanyi de 1994 "Normative validity and meaning of von neumann-morgenstern utilities", presentado en el IX Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia. Harsanyi comienza demostrando el mismo lema que Alecos demostró en su respuesta, a saber, que si $u$ es una función de utilidad vNM de un individuo, entonces $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ si y sólo si prefieren una garantía de 5 dólares frente a un 50% de 10 dólares y un 50% de posibilidades de 0 dólares. En la sección de comentarios dije que eso no era suficiente para demostrar que la función de utilidad vNM representaba la intensidad de las preferencias, porque ¿qué pasaría si el placer y el dolor reales del individuo fueran descritos con precisión por alguna otra función de utilidad $v$ que es una transformación monótona pero no una transformación afín de $u$ ? En ese caso no podría $v$ no satisfacen la propiedad del valor esperado, y no podrían $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$ ?

Harsanyi tiene un argumento inteligente para tratar esta cuestión. Dejemos que $L_1$ sea la lotería en la que se obtienen 5 dólares garantizados, que $L_2$ sea la lotería en la que tienes un 50% de posibilidades de 10 dólares y un 50% de posibilidades de 0 dólares, y que $L_3$ ser la lotería en la que tienes un 50% de posibilidades de 10 dólares y un 50% de posibilidades de 5 dólares. Entonces, obviamente, la persona prefiere $L_3$ a ambos $L_1$ y $L_2$ . Y Harsanyi argumenta que $L_3$ es preferible a $L_1$ con menos fuerza que $L_3$ es preferible a $L_2$ si y sólo si $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ . Eso es porque en la elección entre, $L_3$ vs $L_1$ El 50% de las veces reciben 5 dólares, y el 50% de las veces tienen que elegir entre 10 y 5. Del mismo modo, en la elección entre $L_3$ y $L_2$ El 50% de las veces reciben 10 dólares, y el 50% de las veces tienen que elegir entre 5 y 0.

Ahora viene el golpe maestro: $L_1$ es preferible a $L_2$ si y sólo si $L_3$ es preferible a $L_1$ con menos fuerza que $L_3$ es preferible a $L_2$ . Por lo tanto, $L_1$ es preferible a $L_2$ si y sólo si $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ . Y así llegamos a la gran conclusión de que $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ si y sólo si $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ .

Así, Harasanyi llega a la conclusión de que la función de utilidad vNM representa las intensidades de las preferencias. Así que la respuesta a mi pregunta parece ser que la utilidad marginal decreciente en la función de utilidad vNM refleja la utilidad marginal decreciente genuina cuando se trata de la intensidad de las preferencias, y por lo tanto (asumiendo que los axiomas vNM son verdaderos) la utilidad marginal decreciente es realmente la causa de la aversión al riesgo.

Por cierto, como nota al margen me pregunto si podríamos identificar el conjunto de todas las funciones $v$ que satisfagan la restricción de que $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ si y sólo si $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$ (y de forma similar para mayor que e igual que). (EDIT: He preguntado sobre esto en Mathematics.SE aquí .)

Answer 2

La función de utilidad es una representación de las preferencias, que tradicionalmente se deducen de las elecciones. Las preferencias son anteriores a la utilidad. Yo no llamaría causalidad a la conexión entre la utilidad y las preferencias, sólo una relación matemática.

La aversión al riesgo (preferencia por el riesgo) no está relacionada con el descuento, que mide la preferencia temporal. No tiene sentido decir que la aversión al riesgo se debe al descuento de las preferencias del futuro.

Answer 3

La propiedad de la utilidad esperada es no una propiedad que depende de la forma funcional de la función de utilidad. Su existencia depende de que se satisfagan ciertos "axiomas" (que se describirían más acertadamente como "condiciones"), que tienen que ver con las preferencias/el comportamiento de los seres humanos. Pueden tener una expresión matemática estricta (lo cual es bueno), pero tienen que ver con las preferencias, es decir, antes de que se especifique cualquier forma funcional para la función de utilidad. Veamos qué significa esto. En un comentario el OP escribió

"...si x, y y z son tres elementos fijos de A, entonces la cantidad $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$ varía de una persona a otra (entre personas que satisfacen los axiomas vNM), pero no varía entre diferentes funciones de utilidad vNM para una misma persona. Por tanto, esta cantidad transmite algo específico de una persona".

Lo hace.

Cita de Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , cap. 2 p. 108

"Concluimos que la relación de las diferencias de utilidad tiene un significado inherente a las preferencias del individuo y deben tomar el mismo valor para cada representación de utilidad VNM de (la relación de preferencia débil). relación de preferencia). Por lo tanto, las representaciones de utilidad VNM proporcionan más que información ordinal sobre las preferencias del decisor, ya que de la persona que toma la decisión, ya que, de lo contrario, a través de transformaciones monótonas adecuadas dichas relaciones podrían asumir muchos valores diferentes".

En su ejemplo, justo antes de la cita, muestran que

$$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$$

donde $\alpha$ es una probabilidad que refleja las preferencias que estamos modelando. Cita de nuevo (p. 107)

"Obsérvese bien que el número de probabilidad $\alpha$ está determinada por las preferencias del responsable de la toma de decisiones y es un reflejo de las mismas. Es un número significativo. No se puede duplicar, ni añadir una constante, ni transformarlo de alguna manera sin cambiar también las preferencias con las que se asocia".

Y $(1-\alpha)/\alpha$ es un probabilidades (no "odds ratio").

Así que aquí está: una función de utilidad vNM se asocia con las probabilidades que pueden caracterizar las preferencias de una persona.

ADDENDUM
Después de un interesante pero demasiado largo intercambio de opiniones y pensamientos en los comentarios con el OP, decidí mejorar esta respuesta con un ejemplo, con el fin de mostrar que en el contexto de la teoría específica de las preferencias que estamos discutiendo, la "intensidad de las preferencias" (como se discute informalmente aquí) no puede ser disociada de la "actitud hacia el riesgo" - están inextricablemente ligadas.

Supongamos que un individuo declara (como tiene todo el derecho): "Mis preferencias son monótonas y prefiero más a menos. Además, los próximos cinco euros me darán exactamente la misma utilidad que los cinco siguientes". Nótese que es el individuo el que habla -no podemos cuestionarle por si la utilidad puede ser cardinal o no, etc. Partiendo de cero por comodidad, simbolizamos su afirmación como

$$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$$

En el contexto de la discusión con el OP, se trata de una declaración sobre la "intensidad de las preferencias".

A continuación, presentamos a este individuo la siguiente elección: puede obtener $5$ euros, o puede participar en una apuesta $G$ donde conseguirá $0$ euros con probabilidad $1/2$ o $10$ euros con probabilidad $1/2$ . El individuo declara entonces que prefiere estrictamente para obtener el $5$ euros con certeza. Esta es una declaración que revela la "actitud hacia el riesgo".

Pregunta: ¿Pueden las preferencias de este individuo, descritas por sus dos declaraciones, ser representadas por una función de utilidad que posea la propiedad de utilidad esperada?

Respuesta: No.

Prueba: Con su segunda declaración, el individuo reveló que el equivalente de certeza de la apuesta $CE_G$ es estrictamente menor que $5$ euros:

Por lo tanto, tenemos que

$$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$$

Ahora bien, para que se cumpla la propiedad de la utilidad esperada, debe darse el caso de que

$$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$$

Debido a $(2)$ (que expresa la "actitud hacia el riesgo" del individuo) tenemos que

$$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$$

Pero esto contradice $(1)$ que expresa la "intensidad de la preferencia" del individuo.

Por lo tanto, concluimos que un individuo cuyas preferencias están descritas por las afirmaciones anteriores no puede ser representado por una función de utilidad que posea la propiedad de utilidad esperada.

En otras palabras, para que se cumpla la propiedad de la utilidad esperada, la "actitud hacia el riesgo" no puede disociarse de la "intensidad de la preferencia". Si el individuo se hubiera declarado indiferente entre el $5$ ciertos euros y la apuesta $G$ entonces sus preferencias podrían ser representadas por una función de utilidad que tuviera la propiedad UE. Pero para conseguirlo, había que "alinear" la "actitud hacia el riesgo" con la "intensidad de las preferencias".