Para la fijación de precios, ¿qué tipos de opciones exóticas son adecuadas utilizando un modelo de volatilidad local o un modelo de volatilidad estocástica?

Question

Entiendo que los modelos de volatilidad estocástica deben utilizarse cuando el pago de la opción exótica depende de la volatilidad (como los swaps de varianza y los swaps de volatilidad).

Los modelos estocásticos de volatilidad también deben utilizarse cuando la opción exótica tiene características de arranque hacia adelante (como en el caso de las opciones de cliquet). ¿Puede alguien explicar por qué debemos utilizar modelos de volatilidad estocástica para las opciones de inicio anticipado?

Además, dada una opción exótica, ¿cómo decidiría si utilizar un modelo de volatilidad local o de volatilidad estocástica para fijar su precio?

Answer 1

Cuando se utiliza cualquier modelo para fijar el precio de cualquier cosa, lo único que hay que hacer es asegurarse de modelar la dinámica subyacente de la que depende realmente el producto al que se fija el precio.

Cualquier producto dependerá de numerosas facetas, en distintos grados; lo mismo ocurre con el modelado de cualquier cosa.

La modelización que se produce en la fijación de precios de los derivados financieros es una integración sobre el espacio de resultados posibles, es decir, el cálculo de la expectativa . Ahora, un aspecto clave de la expectativa es Linealidad - es decir, si tenemos $\mathrm{E}[f(X)]$ donde $f(X)$ es un lineal (es decir, la función $f(X) = mX + c$ ) entonces $f(\mathrm{E}[X])$ - es decir, no nos importa la distribución de la variable $X$ Sólo su media.

Pero, ¿por qué es importante? Bueno, si usted tiene un producto que hace no realmente depende de alguna variable, entonces podemos decir que es aproximadamente lineal, y no tenemos que modelar correctamente su dinámica, ya que sólo nos importa el valor esperado del subyacente.

Ahora, para relacionar esto con su pregunta, digamos que tenemos un producto que depende de la distribución de la volatilidad del subyacente - por ejemplo un opción sobre la volatilidad realizada Y pensemos en cómo será la distribución de la volatilidad en los modelos de vol. local y vol. stoch:

1. vol local: aquí, cada trayectoria simulada se moverá aleatoriamente desde su precio inicial hasta algún precio futuro, y la volatilidad en cada paso de tiempo se determinará de forma determinista a partir de la función de volatilidad local. Tendrá alguna distribución aleatoria, procedente de la variación aleatoria del proceso al contado a través de la superficie de volatilidad local, y no tenemos ninguna garantía de que sea la distribución correcta de la volatilidad. Además, las superficies de volatilidad local tienden a aplanarse en los tenores más lejanos, por lo que la volatilidad de la volatilidad convergerá a cero, lo que es claramente erróneo.
2. Sin embargo, un proceso de volatilidad estocástica tiene un proceso adicional para la volatilidad, que sigue su propia dinámica (gobernada por el modelo elegido) - esta dinámica debe ser elegida para modelar correctamente (/aproximar) la dinámica de la volatilidad, de manera que la volatilidad realizada de las trayectorias represente con precisión la volatilidad impulsora del subyacente.

Y ahora otra explicación utilizando el cliquet de su pregunta, y algunas explicaciones bastante manuales:

1. La volatilidad local es la volatilidad instantánea que depende del lugar y del momento en que se encuentra el proceso.
2. Para crear la superficie de volatilidad a plazo (es decir, recrear la superficie de vol de black scholes / los precios de las opciones utilizados para crearla) básicamente tenemos que integrar la volatilidad realizada de $S=S_0, t=t_0$ hasta $S=K, t=\tau$ donde la integración es sobre todos los caminos posibles desde el principio hasta el final, ponderados por la probabilidad de que ese camino ocurra (esto no es realmente lo que se hace, pero es una analogía útil).
3. Si queremos obtener la superficie de volatilidad local implícita de algún momento futuro, condicionada a estar en $S=K_0$ entonces tenemos que hacer la integración anterior a todos los puntos de la superficie del vol (en realidad, lo que se hace es empezar en $S=K_0, t=\tau$ y luego difundir las opciones subyacentes y de precios en alguna cuadrícula para reconstruir la superficie).
4. Como hemos mencionado anteriormente, la superficie local de vol tiende a aplanarse para los tenores más grandes. Un resultado de esto es que cuando se realiza la creación de la superficie de vol hipotética en el futuro, es mucho más plana de lo que cabría esperar, de manera que el sesgo converge a cero. Esto significa que algo como un cliquet en el que se está comprando una opción al 90% a día de hoy, sobre un subyacente con sesgo negativo (es decir, la mayoría de las acciones/índices de renta variable) estará infravalorado, ya que el vol implícito condicional en el lado bajista estará infravalorado, infravalorando todas las opciones de inicio fwd*.
5. Incluso en el caso de las cláusulas atm, las opciones estarán infravaloradas, ya que dependen un poco de la convexidad/kurtosis, pero el efecto es menos pronunciado que en las opciones otm.

Una de las propiedades de los modelos de vol. stoch es que cuando se calcula el vol. condicional en el futuro, siguen produciendo un sesgo, lo que significa que no se están valorando mal habitualmente todas las opciones de inicio fwd en el cliquet.

En cuanto a la pregunta "¿cuándo utilizo el modelo X y cuándo el modelo Y?", la respuesta es "si no sabe cuál utilizar, prepárese con ambos". Si obtienes una respuesta diferente, entonces intenta entender por qué".