Simulación de la dinámica conjunta de una acción y una opción

Question

Quiero conocer la dinámica conjunta de una acción y su opción para un número finito de momentos entre ahora y $T$ la fecha de vencimiento de la opción para un número de posibles caminos.

Sea $r_{\mathrm{s}}$ y $r_{\mathrm{o}}$ el rendimiento de la acción y la opción. Entonces estoy interesado en conocer $\mathrm{E}_t([r_{\mathrm{s}}; r_{\mathrm{o}}])$ la expectativa del rendimiento de $t$ a $t+1$ y $\mathrm{Var}_t(r_{\mathrm{s}}, r_{\mathrm{o}})$ la varianza de $t$ a $t+1$. El rendimiento esperado y la volatilidad de la acción son conocidos.

Mi primera idea es usar Monte Carlo con el siguiente pseudocódigo:

N <- número de caminos
T <- número de momentos
M <- número de subcaminos
S <- precio actual de la acción
for i = 1 a N:
    S_0 <- S
    for t = 0 a T-1:
        for j = 1 a M:
            S_{t+1,j} = f(S_t)
            O_{t+1,j} = BSM(S_{t,j})
        S_{t+1} <- media(S_{t+1,j})
        E_{i,j} <- media(S_{t+1,j}, O_{t+1,j})
        V_{i,j} <- varianza(S_{t+1,j}, O_{t+1,j})
return (E, V)

donde $S_t$ es el precio actual de la acción, $f(S_t)$ da una realización del precio de la acción en el próximo momento dado el precio actual de la acción, supongamos Movimiento Browniano Geométrico, $\textrm{BSM}(S_t)$ da el precio de la opción dado el precio actual de la acción y algunos parámetros arbitrarios utilizando la fórmula BSM y E y V los valores en los que estoy interesado.

Esto probablemente se puede optimizar con varias ideas inteligentes como reutilizar las selecciones de la distribución de probabilidad y discretizar el espacio de estados y utilizar un BSM memorizado. Sin embargo, esto no es lo que estoy buscando. Prefiero calcular la media y la varianza directamente, la pregunta es: ¿cómo?

Answer 1

En este escenario, las "dinámicas conjuntas" se calculan trivialmente ya que el valor de la opción es una función determinística conocida del precio de las acciones. Por ejemplo, la media del valor de la opción para el tiempo $\tau$ es $$ \mu_O = \int_0^\infty BSM( S_\tau ) p(S_\tau) dS_\tau $$ que se calcula mejor usando cuadratura disponible en bibliotecas numéricas estándar como scipy. La función $p(S_\tau)$ típicamente sería la densidad de probabilidad de Black-Scholes $$ \frac{n( d_2(S_0,S_\tau) )} {S_\tau \sigma \sqrt{\tau} }. $$ con $S_\tau$ ocupando el lugar de la posición de ejercicio $K$ en la fórmula de $d_2()$.

De manera similar, la varianza del valor de la opción para el tiempo $\tau$ es $$ \int_0^\infty (BSM( S_\tau ) - \mu_O)^2 p(S_\tau) dS_\tau $$ y la covarianza del valor de la opción con el precio de las acciones sería $$ \int_0^\infty (BSM( S_\tau ) - \mu_O)(S_\tau-\mu_S) p(S_\tau) dS_\tau. $$