En el nuevo modelo keynesiano logarítmico, ¿qué es lo que hace $Y$ , $Y_t$ , $y_t$ realmente significa?

Question

Esta puede ser una pregunta extraña, pero desafortunadamente estoy confundido por los términos. Supongamos que el modelo keynesiano nuevo logarítmico sugerido por Gali aquí: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Mi primera pregunta es, el valor aparentemente estable $Y$ se supone que hace la logarítmica-linearización de $Y_t$ pero, ¿esto es $Y$ un valor constante, o todo el camino de salida constante? Equivalentemente, es $Y$ sobre cómo evolucionará la producción si $Y_t$ evoluciona sin factores estocásticos y errores de acuerdo con la tasa natural a largo plazo?

Mi segunda pregunta, relacionada con la primera, es si $Y_t$ se refiere a la producción total o a la producción normalizada. Es decir, si la economía tiene una tasa de crecimiento de la producción positiva, se $Y_t$ ¿Crecer? ¿O es una producción normalizada que no cambia sin elementos estocásticos?

Mi tercera pregunta es, ¿qué $y_t$ en realidad significa Según entiendo, es sólo $ \log Y_t$ . ¿Esto es correcto?

El hecho de que exista la ecuación del consumo de euler parece apoyar la intuición de que $Y$ es una trayectoria de producción constante, no un valor constante, ya que el tipo de interés real suele ser positivo para la economía. Mi confusión se eleva desde aquí, y no estoy seguro de que esto sea una comprensión correcta.

Answer 1

El siguiente post explica de forma algo más sencilla lo que ocurre exactamente cuando linealizamos un modelo log.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

El examen del ejemplo proporcionado debería dejar claro cuáles son los pasos individuales.

Answer 2

La log-linealización se realiza en la vecindad de un estado estacionario con inflación cero, producción constante y márgenes de beneficio constantes sobre el coste marginal, como se indica en la diapositiva 11 de la presentación de Galí que enlazas. Por tanto, $Y$ se pretende que sea un valor constante, el nivel de producción en estado estacionario en torno al cual se realiza la log-linealización. $Y_t$ es sólo el nivel de producción total en el período $t$ , mientras que $y_t=\log Y_t$ es el valor logarítmico de la producción total, como tú dices.

Varios puntos adicionales que parecen ser relevantes aquí:

• Esta derivación del modelo neokeynesiano básico se realiza bajo el supuesto de que no existe un crecimiento tendencial del producto en estado estacionario. Sólo podemos estar seguros de que las ecuaciones logarítmicas linealizadas son aproximadamente correctas para situaciones en las que cualquier desviación de este estado estacionario de crecimiento cero es suficientemente pequeña. Evidentemente, dado que vivimos en un mundo con un crecimiento tendencial llamativamente positivo, esto es potencialmente un problema, por lo que es una preocupación muy válida por su parte.
• Resulta que creo que las ecuaciones son muy similares cuando se log-linealizan en torno a un estado estacionario con un crecimiento tendencial positivo de la productividad (pero manteniendo el supuesto de inflación tendencial cero). En particular, cuando se enuncia en términos de brecha de producción y tasa natural de interés como en la ecuación de Galí (10), la ecuación intertemporal de Euler es exactamente la misma (aunque nótese que la tasa natural de estado estacionario $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$ es mayor, donde $g_a$ es la tasa de crecimiento de la tendencia logarítmica de la productividad). La curva de Phillips neokeynesiana es un poco más complicada: en el caso de las preferencias logarítmicas $\sigma=1$ hay varias cancelaciones agradables y obtenemos exactamente el mismo NKPC, pero para otros $\sigma$ la tasa de descuento de la inflación futura ya no es $\beta$ . Sin embargo, todo esto es mucho más molesto de tratar, por lo que Galí lo evitó para la exposición simple y se quedó con el estado estacionario de crecimiento cero.
• Como se ha mencionado anteriormente, ni $Y$ , $Y_t$ , ni $y_t$ son "producción normalizada" de cualquier tipo. Sin embargo, la brecha de producción $\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$ definida en la ecuación de Galí (7) es efectivamente la producción logarítmica normalizada, restando la "producción natural" logarítmica $y_t^n$ que esperaríamos en un mundo de precios flexibles dada la productividad logarítmica $a_t$ . En este sentido, el modelo puede acomodar las fluctuaciones de la productividad; pero como se ha dicho anteriormente, si estas fluctuaciones son demasiado grandes, entonces la linealización logarítmica en torno al crecimiento tendencial cero empieza a romperse, y si $\sigma\neq 1$ tenemos que reescribir el NKPC en una forma diferente para tener en cuenta esto.
• Por último, estoy un poco confundido por el último párrafo, pero pareces insinuar que el modelo puede tener una tasa de crecimiento positiva, "ya que el tipo de interés real suele ser positivo para la economía". Esto es un error: el tipo de interés real en estado estacionario en este modelo es positivo porque los agentes del modelo tienen preferencia temporal pura, con una tasa de descuento $\beta<1$ . Si se mira debajo de la ecuación de Galí (10), se ve que cuando no hay cambio de productividad el tipo de interés real "natural" es $r_t^n = \rho$ , donde $\rho=-\log \beta$ .

Answer 3

No he leído los apuntes de la conferencia que me ha proporcionado con especial atención, pero creo que puedo responder a su pregunta.

Editado: Atención, por no leer detenidamente el enlace que proporciona la pregunta, me he perdido algo.

Los modelos neokeynesianos estándar (como el que presentó Gali) se modelan sin crecimiento. Si se escribe el modelo, se puede representar como una ecuación en diferencias:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

donde $X_t$ contiene todas las variables relevantes y $Z_t$ representan los choques de la economía. El "estado estacionario" suele referirse al estado del mundo en el que $X_t$ es constante (piense en una solución estable de una ecuación diferencial) y $Z_t = 0$ Así, se podría escribir como la solución a:

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

en cuyo caso $X$ sería el valor del estado estacionario (nótese que no hay subíndices de tiempo -a veces también se hace denotando el estado estacionario con barras superiores $\bar{X}$ ). Esto es lo que él llama $Y$ y es un valor constante.

Para la segunda pregunta, no he leído con atención, así que no puedo estar 100% seguro, pero normalmente cuando una variable se escribe como $X_t$ hace referencia al valor real que se toma (es decir, si resolvieras el modelo y lo simularas exactamente, este es el valor que tendría).

En cuanto a la tercera pregunta, creo que un conocimiento más profundo de la log-linealización te la responderá. La log-linealización, en su esencia, no es más que una expansión de Taylor en torno al estado estacionario. Consideremos una ecuación genérica $f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$ . Hay 3 pasos básicos para la log-linealización (me refrescó la memoria aquí ).

• Toma los registros
• Expansión de Taylor de primer orden
• Álgebra

Primero tomamos los registros,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Si hacemos una expansión de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario, entonces podemos escribir:

$$ \ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$ \ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Así podemos escribir:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Recordemos que en el estado estacionario $f(X, Y) = g(Z)$ y también multiplicaré por uno en varios lugares ( $\frac{X}{X}$ etc...), así que

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

Ahora defina $\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$ , $\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$ y $\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$ . Se trata de la desviación porcentual de $X_t$ de $X$ (y correspondientemente para $Y_t$ y $Z_t$ ). Entonces se puede escribir la ecuación log-linealizada como

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Dos cosas finales. En primer lugar, una sutileza que me pilló desprevenido la primera vez que cambiaba entre la desviación porcentual y los valores reales y que quizá quieras tener en cuenta; los valores que no son normalmente negativos pueden ser negativos porque sólo significa que está ese porcentaje por debajo del estado estacionario. En segundo lugar, las formas funcionales normalmente hacen que estos se simplifiquen bastante bien como probablemente has visto en las ecuaciones log-linealizadas presentadas.

En este ejemplo, Gali utiliza $y_t := \log Y_t$ como se ve en la otra respuesta, así que espero que esto proporcione alguna intuición de lo que está sucediendo en otros lugares.

Espero que esto haya ayudado.