En esta pregunta se ha tratado una cuestión similar para la opción de venta: Encontrar el arbitraje en dos Puts . Básicamente, el pago de la opción de compra es una función convexa del strike. Entonces el precio de la opción de compra es también una función convexa del precio de ejercicio. En concreto, dejemos que $C(K)$ denota el precio de la opción de compra con strike $K$ . Entonces para $ 0 < K_1 < K_2$ , \begin{align*} C\left(\frac{K_1 + K_2}{2}\right) \le \frac{1}{2}\big(C(K_1) + C(K_2) \big). \end{align*}
Para el ejemplo, dejemos que $K_1 = 10$ y $K_2 = 30$ . Entonces \begin{align*} C(20) &= C\left(\frac{K_1 + K_2}{2}\right)\\ &\le \frac{1}{2}\big(C(K_1) + C(K_2) \big)\\ &= \frac{1}{2} (12 + 1) = 6.5. \end{align*} Sin embargo, $C(20) = 7$ que se contradice con lo anterior. Por lo tanto, existe una oportunidad de arbitraje.
Para una estrategia de arbitraje, deberíamos poner en corto (es decir, vender) la opción que está sobrevalorada, y en largo (es decir, comprar) la opción que está infravalorada. En concreto, vendemos dos opciones con strike 20, y compramos una opción con strike 10 y otra con strike 30. Al principio, tenemos el beneficio \begin{align*} 2 \times 7 - 12 - 1 = 1 $. \end{align*} Al vencimiento de la opción, el pago para nosotros es \begin{align*} (S_T-10)^+ + (S_T-30)^+ - 2 (S_T-20)^+ = \begin{cases} 0, & \mbox{if } S_T \leq 10,\\ S_T-10, & \mbox{if } 10 \le S_T \le 20, \\ 30-S_T, & \mbox{if } 20\le S_T \le 30,\\ 0 , & \mbox{if } S_T \ge 30, \end{cases} \end{align*} que siempre es no negativo. Entonces, tenemos un beneficio garantizado al inicio y un potencial beneficio adicional al vencimiento de la opción, mientras que sin ningún pasivo.
