Cuando se debe a un receptor de forma aleatoria a través de acciones en una señalización de juego?

Question

Supongamos que existe una señalización de juego con un número finito de mensaje de espacio $M$, finito espacio de acción $A$, y finito tipo de espacio $T$. Más simple aún, todos remitente tipos tienen idénticas preferencias (el receptor simplemente prefiere diferentes acciones en respuesta a diferentes tipos). Puede que el receptor haga nunca estrictamente mejor forma aleatoria a través de las respuestas? Cuando existe un equilibrio donde el receptor sólo toma las acciones puras?

Omnipresente resumen mi pregunta amablemente, "Es que nunca en el caso de que el equilibrio con el mayor receptor de pagos implica necesariamente estrategias mixtas?"

Vamos con el equilibrio secuencial. Si quieres una notación para empezar.

$\sigma_{t}(m)$ es la probabilidad de que $t\T$ envía $m\in M$.

$\sigma_R^m(a)$ es la probabilidad de que el receptor responde a $m$ con $a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ da del receptor creencias, después de observar a $m$.

Un equilibrio secuencial requiere $\sigma_t$ dar una respuesta óptima dado $\sigma_R$, $\sigma_R$ es óptimo dado $\mu$ y $\mu$ es Bayesiano dado $\sigma$. Esta es realmente la definición de un débil secuencial, pero no hay ninguna distinción en una de señalización de juego.

Mi intuición me dice que no cuando no existe un equilibrio en el que el receptor sólo juega las acciones puras, pero siempre he sido horrible, con este tipo de cosas. Tal vez también tenemos que estipulan que no es un juego de suma cero, pero yo sólo estoy diciendo que porque me recuerda a los jugadores de ser mejor con la capacidad de cambiar aleatoriamente en los juegos. Tal vez esta es una nota a pie de página en un papel en algún lugar?

Considerar el juego por debajo de donde remitente preferencias no son idénticos. Pido disculpas por la baja calidad. Hay tres remitente tipos, cada uno igualmente probables. Podemos crear lo que yo creo es que el receptor (jugador 2) equilibrio óptimo, sólo si se aleatoriza sobre la recepción del mensaje 1. A continuación, los tipos 1 y 3 play de $m_2$, creando una separación de equilibrio. Si el receptor utiliza una pura estrategia en respuesta a los $m_1$, entonces un tipo de 1 o 2 se desviaría y hacen que el receptor peor.

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

Answer 1

Creo que esto no puede suceder con aversión al riesgo de los remitentes, de riesgo neutral receptor, y $A$ lo suficientemente rico.

Por ejemplo, y que se adhieren a la canónica de señalización modelo, supongamos que $a$ es la real positiva de la línea y de los remitentes de utilidad de $u$ es el aumento en $un$ mientras que la del receptor lineal de la utilidad de la disminución en $un$.

(Obviamente, esto es sólo una respuesta parcial como el marco es mucho menos general que el que en su pregunta, por lo que puede no ser satisfactorio para usted. Yo todavía proporcionar un argumento en el caso de que estaban bien con estas suposiciones)

Para derivar una contradicción, supongamos que en un punto de equilibrio $\sigma^m_R(a') > 0$ y $\sigma^m_R(a") > 0$ para algunos $a' \neq un" \en Un$. Vamos

$$a"' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a") } a' + \frac{\sigma^m_R(a")}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a") } a".$$

Por la aversión al riesgo

$$ u[ a"] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a") } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a")}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a") } u(a').$$ $$ [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a")] u( a"' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a") u(a').$$

En algunas de continuidad de la asunción, también debe de existir

$$ a "" < a"' $$

tal que

$$ [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a")] u( a"" ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a") u(a').$$

Así que considere $\sigma^m_R{'}$ construye de la siguiente manera

• $\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a") = 0$,
• $\sigma^m_R{'}(a"") = \sigma^m_R ("un") + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a")]$
• Para todos los otros $\tilde{a}$, $\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Receptores preferiría $\sigma^m_R{'}$ sobre $\sigma^m_R$ si no alteró las señales enviadas por los remitentes, porque implica menor espera compensaciones. Pero por construcción, los remitentes son indiferentes entre $\sigma^m_R{'}$ y $\sigma^m_R$, por lo que deben enviar las mismas señales como en $\sigma^m_R$. Por lo tanto $\sigma^m_R$ no puede ser un equilibrio que demuestra que no podemos tener dos acciones diferentes, juega con probabilidad positiva a un cierto equilibrio.

Answer 2

Tal vez tengo un contraejemplo!

Vamos hay tres mensajes, $m_1, m_2,$ y $m_3$, y tres remitente tipos $t_1,t_2,t_3$ donde $\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$, $\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$ y $\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$. El envío de $m_3$ traduce en una rentabilidad de $0$ para los remitentes, se puede pensar en como salir del juego.

El conjunto de receptor de las respuestas a un mensaje $m=m_1,m_2$ es $\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$, $u_R(t_3,m_i,a)=1$,

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$, $u_R(t_3,m_i,r)=2$,

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$.

A continuación, en equilibrio, todos los remitentes deben obtener la misma utilidad, ¿correcto?. De lo contrario, uno va a imitar a los otros de la estrategia.

Así, la única pura estrategia de equilibrio es para todos los remitentes a elegir $m_3$. En una agrupación de equilibrio en $m_1$ o $m_2$, la mejor respuesta es elegir $r$. No es pura estrategia de la separación de equilibrio, excepto si $t_1$ y $t_2$ enviar $m_2$, y el receptor responde con $r$. Entonces $t_3$ es indiferente entre todos los mensajes, porque él seguramente se reunió con el pago de $0$. Todo esto le da al receptor de la rentabilidad $\frac{3}{2}-\epsilon$

A continuación, considere el caso donde $\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$ y $\sigma_R^{m_2}(a)=1.$ Ahora, los remitentes son indiferentes entre el envío de los dos mensajes. A continuación, deja que $\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$ y $\sigma_{t_i}(m_i)=1$ por $i=1,2$. A continuación, el receptor de la estrategia es racional.

El receptor de la utilidad esperada de $m_1$ dado $un$ o $r$ es de 1.5. La utilidad esperada de $m_2$ es ligeramente superior a 1,5, dado $a$. De manera ex ante beneficio esperado es de más de $\frac{3}{2}-\epsilon$, mejor que el puro equilibrio descrito anteriormente. Además, esta separación se mantiene sólo por la mezcla. Cualquier otro pura estrategia tomada por el receptor induce remitente de la agrupación, el significado sólo una pura estrategia de equilibrio es cuando el receptor elige $r$.

Yo debería haber $\beta$s en la imagen de abajo por el lado izquierdo del remitente rentabilidad de $a$. Creo que el $\beta<1$ es el ingrediente clave.