Fórmula de Black-Scholes con dividendo discreto determinístico (enfoque de Musiela)

Question

Para dividendos discretos deterministas, existen dos enfoques:

• Enfoque de Musiela, funciona cuando todos los dividendos se pagan al vencimiento de la opción.
• Enfoque de Hull, funciona cuando todos los dividendos se pagan inmediatamente después de la fecha ex-dividendo.

Me tomó 1 día entender el enfoque de Musiela, pero no logro entender su fórmula. En su libro "Método martingala para modelado financiero 2da edición" \$3.2.2, su primer enfoque primero define la cantidad:

• Línea de tiempo $0 < T_1

• Valor de todos los dividendos posteriores a t compuestos hasta el tiempo de vencimiento: $$ I_t = \sum^m_{i=1} q_i e^{r(T-T_i)} \mathbf{1}_{[0,T_i]}(t) $$ Nota que $I_t$ decrece en el tiempo $t$ y es constante por pedazos. En cada tiempo $T_i$, $I_t$ disminuye $q_i$

• Valor de todos los dividendos anteriores a t compuestos hasta el tiempo $t$. $$ D_t = \sum^m_{i=1} q_i e^{r(t-T_i)} \mathbf{1}_{[T_i,T]}(t) $$ Aquí, $D_t$ aumenta con el tiempo. En cada tiempo $T_i$, $D_t$ aumenta $q_i$

• Él define el proceso de ganancia de capital $$ G_t = S_t + D_t $$

Nota que $$ D_T=I_0 \hspace{1cm} G_0=S_0 \hspace{1cm} G_T=S_T+D_T=S_T+I_0 $$
Y todos los saltos en el proceso de precio $S_t$ están separados en $D_t$, puede modelar $G_t$ con el geométrico browniano como de costumbre, es decir, bajo medida neutral al riesgo $$ \frac{dG_t}{G_t} = rdt + \sigma dW_t $$ Ahora, puede dar la fórmula de B&S para una opción de compra europea en el tiempo cero $$ C_0 = e^{-rT}\mathbb{E}[(S_T-K)^+] = e^{-rT}\mathbb{E}[(G_T-(K+I_0))^+] $$ Dado que el proceso modelado es $G_t$, este precio en el tiempo $0$ se encuentra fácilmente mediante el cálculo de Black-Scholes. $$ C_0 = S_0 \mathcal{N}(d_+) - e^{-rT}K \mathcal{N}(d_{-}) $$ con $$ d\pm = \frac{ \text{ln}\frac{S_0}{K+I_0} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})T } {\sigma \sqrt{T}} $$ Para esta fórmula de precio en el tiempo $0$, puedo entenderlo. Y luego intenté calcular para un tiempo arbitrario $t$ $$ C_t = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}[(S_T-K)^+|\mathcal{F}_t] = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}[(G_T-(K+I_0))^+|\mathcal{F}_t] $$ Nuevamente, el cálculo rutinario de Black-Scholes debería dar $$ C_t = G_t \mathcal{N}(d_+) - e^{-r(T-t)} (K+I_0) \mathcal{N}(d_{-}) $$ con $d\pm$ debería ser $$ d\pm = \frac{ \text{ln}\frac{G_t}{K+I_0} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) } {\sigma \sqrt{T-t}} $$ Pero en el libro de Musiela, él da un resultado diferente sin una prueba detallada. Su resultado es $$ C_t = S_t \mathcal{N}(\hat{d}_+) - e^{-r(T-t)} (K+I_t) \mathcal{N}(\hat{d}_{-}) $$ con $$ \hat{d}\pm = \frac{ \text{ln}\frac{S_t}{K+I_t} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) } {\sigma \sqrt{T-t}} $$ Entonces, las diferencias molestas son:

• Él tiene el término de strike como $K+I_t$, yo tengo $K+I_0$
• Él tiene el proceso aleatorio como $S_t$, yo tengo $G_t

Alguien puede ayudarme por favor. He pasado demasiado tiempo sin éxito.

PD: una pregunta más. Puede que algo se me esté escapando. El hecho de que él use $D_t$ para modelar el dividendo, pero en el resultado, usa $I_t$, eso parece extraño.

Answer 1

La derivación en el libro parece incorrecta. Sin embargo, los resultados tienen sentido ya que el precio de la opción en el tiempo $t$ no debería verse afectado por los pagos de dividendos anteriores. Puede estar fuera de tema, me gustaría brindar alguna justificación de la fórmula de Musiela-Rutkowski.

Sea $\{H_t \mid t >0\}$, donde \begin{align*} H_t = \sum_{0 < T_i \leq t} q_i, \end{align*} un proceso escalonado. Además, asumimos que, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo, el precio de la acción $S_t$ satisface una Ecuación Estocástica Diferencial (SDE) de la forma \begin{align*} dS_t = S_{t-}(r dt + \sigma dW_t) - dH_t, \end{align*} donde $\{W_t\mid t>0\}$ es un movimiento Browniano estándar. Para $0

Answer 2

Estoy de acuerdo en que tu derivación tiene sentido.

Para mí, la única forma de explicar el precio del libro es si, a medida que pasa el tiempo, el modelo se modifica constantemente, de modo que en el tiempo $\tau$, se asume que $\hat{G_t} = S_t + D_t - D_\tau$ es un proceso browniano geométrico con volatilidad $\sigma$.

El precio del libro no sería igual al precio de la opción si el mundo realmente se comportara bajo la difusión que se asumió en el tiempo $0, pero puedo ver cómo aún podría ser algo justificado: en la práctica, tal recalibración sería lo que uno haría al gestionar el riesgo de esta opción (realmente no tiene sentido considerar en el tiempo $\tau$ que la volatilidad del precio de la acción depende de dividendos pasados, que es lo que este modelo implica).

Por supuesto, para fines de gestión de riesgos, la volatilidad también se actualizaría con el tiempo, por lo que el precio real observado en el tiempo $\tau$ utilizaría alguna $\sigma_\tau$ como su volatilidad, no necesariamente igual a la original $\sigma$.

No he leído el libro, así que no puedo comentar por qué la fórmula fue escrita de esta manera, pero al final creo que ambas fórmulas podrían ser argumentadas a favor y en contra dependiendo del punto de vista (es decir, ¿estás hablando del precio en el tiempo $\tau$ como una variable aleatoria pura vista desde el tiempo $0$, o como un valor conocido observado en el tiempo $\tau$).