Fórmula Black-Scholes con dividendo discreto determinista (enfoque Musiela)

Question

Para el dividendo discreto determinista, hay dos enfoques

• El enfoque de Musiela, funciona cuando todos los dividendos se pagan al vencimiento de la opción.
• El enfoque de Hull, funciona cuando todos los dividendos se pagan inmediatamente después de la fecha ex-dividendo.

Pasé 1 día para entender el enfoque Musiela, pero no puedo entender su fórmula. En su libro "Martingal Method for Financial Modelling 2nd Edit" $3.2.2, su primer enfoque define primero la cantidad :

• Línea de tiempo $0 < T_1 <T_2 … < T_m <T$ y el flujo de caja de los dividendos $q_1, q_2, .. q_m$

• Valor de todos los dividendos posteriores compuestos hasta el momento del vencimiento : $$ I_t = \sum^m_{i=1} q_i e^{r(T-T_i)} \mathbf{1}_{[0,T_i]}(t) $$ Tenga en cuenta que $I_t$ disminución del tiempo $t$ y constante a trozos. En cada momento $T_i$ , $I_t$ desplegable $q_i$

• Valor de todo el dividendo anterior-t compuesto al tiempo $t$ . $$ D_t = \sum^m_{i=1} q_i e^{r(t-T_i)} \mathbf{1}_{[T_i,T]}(t) $$ Aquí, $D_t$ aumento del tiempo $t$ . En cada momento $T_i$ , $D_t$ saltar $q_i$

• Define el proceso de la plusvalía $$ G_t = S_t + D_t $$

Tenga en cuenta que $$ D_T=I_0 \hspace{1cm} G_0=S_0 \hspace{1cm} G_T=S_T+D_T=S_T+I_0 $$
Y todos saltan en el proceso de precios $S_t$ se separan para $D_t$ puede modelar $G_t$ por la browniana geométrica como es habitual, es decir, bajo la medida de riesgo neutro $$ \frac{dG_t}{G_t} = rdt + \sigma dW_t $$ Ahora, puede dar la fórmula de B&S para la opción Call europea a tiempo cero $$ C_0 = e^{-rT}\mathbb{E}[(S_T-K)^+] = e^{-rT}\mathbb{E}[(G_T-(K+I_0))^+] $$ Dado que el proceso modelado es $G_t$ Este precio en el momento $0$ se encuentra fácilmente mediante la rutina de cálculo de Black-Scholes. $$ C_0 = S_0 \mathcal{N}(d_+) - e^{-rT}K \mathcal{N}(d_{-}) $$ con $$ d\pm = \frac{ \text{ln}\frac{S_0}{K+I_0} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})T } {\sigma \sqrt{T}} $$ Para esta fórmula de precios en el momento $0$ Lo comprendo. Y luego traté de calcular para un tiempo arbitrario $t$ $$ C_t = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}[(S_T-K)^+|\mathcal{F}_t] = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}[(G_T-(K+I_0))^+|\mathcal{F}_t] $$ De nuevo, la rutina de cálculo de Black-Scholes debería dar $$ C_t = G_t \mathcal{N}(d_+) - e^{-r(T-t)} (K+I_0) \mathcal{N}(d_{-}) $$ con $d\pm$ debe ser $$ d\pm = \frac{ \text{ln}\frac{G_t}{K+I_0} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) } {\sigma \sqrt{T-t}} $$ Pero en el libro de Musiela, él da el resultado diferente sin prueba de detalle. Su resultado es $$ C_t = S_t \mathcal{N}(\hat{d}_+) - e^{-r(T-t)} (K+I_t) \mathcal{N}(\hat{d}_{-}) $$ con $$ \hat{d}\pm = \frac{ \text{ln}\frac{S_t}{K+I_t} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) } {\sigma \sqrt{T-t}} $$ Así que las diferencias molestas son

• Tiene término de huelga como $K+I_t$ Tengo $K+I_0$
• Tiene un proceso aleatorio como $S_t$ Tengo $G_t$

Puede alguien ayudar por favor. He pasado mucho tiempo sin éxito.

PS : una pregunta más. Tal vez hay algo que se me escapa. El hecho de que utilice $D_t$ para modelar el dividendo, pero en el resultado, utiliza $I_t$ eso parece extraño.

Answer 1

La derivación en el libro parece errónea. Sin embargo, los resultados tienen sentido ya que el precio de la opción en el momento $t$ no debería verse afectado por los pagos de dividendos anteriores. Puede que esté fuera de tema, pero me gustaría proporcionar alguna justificación de la fórmula Musiela-Rutkowski.

Dejemos que $\{H_t \mid t >0\}$ , donde \begin{align*} H_t = \sum_{0 < T_i \leq t} q_i, \end{align*} sea un proceso escalonado. Además, suponemos que, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo, el precio de las acciones $S_t$ satisface una SDE de la forma \begin{align*} dS_t = S_{t-}(r dt + \sigma dW_t) - dH_t, \end{align*} donde $\{W_t\mid t>0\}$ es un movimiento browniano estándar. Para $0<t \leq T$ , suponiendo que \begin{align*} t < T_{i_0} < \cdots < T_m \leq T. \end{align*} Entonces, \begin{align*} S_{T_{i_0}} &= S_te^{\int_t^{T_{i_0}}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_t^{T_{i_0}}\sigma dW_s}-q_{i_0}\\ S_{T_{i_0+1}} &= \bigg(S_te^{\int_t^{T_{i_0}}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_t^{T_{i_0}}\sigma dW_s}-q_{i_0}\bigg)e^{\int_{T_{i_0}}^{T_{i_0+1}}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_{T_{i_0}}^{T_{i_0+1}}\sigma dW_s} -q_{i_0+1}\\ &\approx S_te^{\int_t^{T_{i_0+1}}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_t^{T_{i_0+1}}\sigma dW_s}-q_{i_0} e^{\int_{T_{i_0}}^{T_{i_0+1}}rds} - q_{i_0+1}\\ & \ldots\ldots\\ S_T &\approx S_te^{\int_t^{T}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_t^{T}\sigma dW_s}-\sum_{i=i_0}^m q_{i} e^{\int_{T_{i}}^{T}rds}\\ &= S_te^{\int_t^{T}(r-1/2\sigma^2)ds +\int_t^{T}\sigma dW_s}-I_t. \end{align*} Ahora, la fórmula Musiela-Rutkowski sigue inmediatamente.

Answer 2

Estoy de acuerdo en que su derivación tiene sentido.

Para mí, la única manera de explicar el precio del libro es si, a medida que pasa el tiempo, el modelo se modifica constantemente, de manera que en el momento $\tau$ , $\hat{G_t} = S_t + D_t - D_\tau$ se supone que es un proceso geométrico browniano con volatilidad $\sigma$ .

El precio del libro no sería igual al precio de la opción si el mundo se comportara realmente bajo la difusión que se supuso en su momento $0$ pero puedo ver cómo podría justificarse de alguna manera: en la práctica, esa recalibración sería lo que se haría al gestionar el riesgo de esta opción (realmente no tiene sentido considerar en el momento $\tau$ que la volatilidad del precio de la acción depende de los dividendos pasados, que es lo que implica este modelo).

Por supuesto, a efectos de gestión del riesgo, la volatilidad también se actualizaría con el tiempo, de modo que el precio real observado en el momento $\tau$ utilizaría algunos $\sigma_\tau$ como su volatilidad, no necesariamente igual a la original $\sigma$ .

No he leído el libro, así que no puedo comentar por qué la fórmula se escribió así, pero al final creo que ambas fórmulas podrían argumentarse a favor y en contra dependiendo del punto de vista (es decir, ¿se habla del precio en el momento $\tau$ como una variable aleatoria pura vista desde el tiempo $0$ o como un valor conocido observado en el tiempo $\tau$ ).