Monte Carlo es más útil cuando se carece de trazabilidad analítica o cuando se tiene un problema muy multidimensional.
Por ejemplo, incluso utilizando modelos lognormales y de Poisson sencillos, existen pagos dependientes de la trayectoria o cálculos multiactivos tales que no existe ninguna solución analítica y que cualquier solución de diferencias finitas de la EDP requeriría 3 o más dimensiones. Otras veces, se emplea un modelo en el que la EDS no es resoluble, por lo que un problema aparentemente unidimensional acaba obligando a generar muchas trayectorias incrementales mediante la integración de Euler o Milstein.
Casos en los que Montecarlo es una mala idea
- Opciones débilmente dependientes de la trayectoria (por ejemplo, lookbacks): Utilizar soluciones PDE o en serie
- Casos unidimensionales : Si su problema es sólo unidimensional, como la fijación de precios de un pago a lo largo de la distribución terminal, nunca debe utilizar Monte Carlo, ya que la cuadratura numérica es muy superior en este caso, incluso si sólo utiliza sumas de Riemann.
Casos en los que Montecarlo es una buena idea
- Opciones fuertemente dependientes de la trayectoria como las opciones de la gama de trinquetes
- Riesgos de la cartera y cestas exóticas donde entra en juego la alta dimensionalidad. La protección de los tramos de las CDO es un ejemplo clásico. También lo son los cálculos del riesgo de cola, especialmente en el caso de las carteras multiactivas.
- Modelos intratables en los que no se puede calcular la distribución terminal, como algunos modelos estocásticos de vol
En cuanto a los casos unidimensionales, parece que esto describe su uso, tal vez porque está utilizando algún tipo de ajuste distributivo implícito para estar de acuerdo con la inclinación de la volatilidad. En este caso, Monte Carlo parece fácil, pero el uso de un integrador de regla trapezoidal (o similar) será igual de fácil y de mucha mayor calidad según cualquier medida.
Ahora bien, Monte Carlo hace que sea difícil calcular con precisión las griegas. Como con cualquier modelo, podemos calcular las griegas utilizando una diferencia finita "bump de parámetros", calculando nuestra griega
$$ g_\mu =\frac{ V(\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) - V(\dots, \mu,\dots)}{\Delta \mu} $$
pero si hay mucho ruido aleatorio en esos dos cálculos separados de $V()$ entonces nuestro $g_\mu$ será inexacta. En cambio, es importante llevar la diferenciación dentro de la fórmula de Monte Carlo. Es decir, no queremos hacer
$$ \hat{g}_\mu =\frac{ \frac1M \sum_{i=1}^M V(x_i,\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) - \frac1M \sum_{i=1}^MV(y_i, \dots, \mu,\dots)}{\Delta \mu} $$
para dos conjuntos de muestras diferentes $x_i$ y $y_i$ . En su lugar, queremos utilizar el mismo $x_i$ para ambas sumas, lo que significa que efectivamente calculamos
$$ g_\mu =\frac1{M {\Delta \mu}} \sum_{i=1}^M V(x_i,\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) -V(x_i, \dots, \mu,\dots) $$
y terminar con una estimación mucho más precisa, normalmente mejor que nuestra estimación del valor de la opción.
Voy a hacer una última observación, y es que usted cree que "obtiene resultados sólidos sin depender de los supuestos de los métodos analíticos". Si sus distribuciones terminales se generan empíricamente, entonces es probable que valore mal cualquier opción porque no está utilizando nada parecido a una medida neutral de riesgo. Por ejemplo, es casi seguro que se encuentre valorando un contrato a plazo $F$ mucho más alto que el verdadero rango de valor arbitrable $F \in [S_0 e^{r_L T}, S_0 e^{r_b T}]$ donde $r_b, r_L$ son los tipos de interés estándar de los préstamos.
(Vytautas se me adelantó en algunos de estos puntos)
