Volatilidad de los swaps de varianza - vol. ATMF, Skew y Curvatura

Question

En un entorno de difusión pura, es un resultado bien conocido que la volatilidad $\sigma_T$ de un swap de varianza de nuevo cuño con vencimiento $T$ como se ve de $t=0$ verifica \begin{align} \sigma_T^2 &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{T}\int_0^T d\langle \ln S \rangle_t \right] \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{\sigma}^2(z,T) \phi(z) dz \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \sigma^2(f^{-1}(z),T) \phi(z) dz\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \sigma^2(k,T) \phi(f(k)) f'(k) dk \\ &= \color{blue}{\Bbb{E}[\sigma^2(k,T)]} \end{align} donde $\phi(\cdot)$ es la pdf de una gaussiana estándar, $\sigma(k,T)$ es la sonrisa de volatilidad implícita para el dinero log-forward $k$ y tiempo de caducidad $T$ y $$ f : k \to \frac{k}{\sigma(k,T)\sqrt{T}} + \frac{1}{2} \sigma(k,T) \sqrt{T} $$

Como resultado, si la sonrisa en el espacio de dinero modificado $z$ admite la siguiente parametrización $$ \tilde{\sigma}^2 = \tilde{\sigma}_0^2 + \alpha z + \beta z^2 $$ entonces $$ \sigma_T^2 = \tilde{\sigma}_0^2 + \beta $$ por las propiedades de la gaussiana estándar y se suele decir que sólo el nivel de "ATM" y la convexidad de "ATM" contribuyen al precio de la VS. Por supuesto, "ATM" debe entenderse aquí como en el dinero en el espacio de dinero modificado, es decir $z=0$ no $k=0$ .

He tratado de obtener una expresión similar que relacione la varianza de VS, la varianza de ATMF, la inclinación de ATMF y la curvatura bajo el espacio de dinero estándar $k$ pero me sorprende lo difícil que es. Seguramente me falta algo, si tienes indicaciones, las tomaré con gusto.

Soy consciente de que tales relaciones existen para los modelos genéricos de volatilidad estocástica como los que da la expansión de Guyon-Bergomi, pero esperaba (secretamente) un resultado sin modelo.

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[Editado]

Ya que esta pregunta parece más difícil de lo que parece. También estoy dispuesto a aceptar respuestas a una versión más ligera de la misma.

De hecho, se puede obtener un resultado sin modelo si se considera una sonrisa lineal en la logaritmia del dinero $$ \sigma(k, T) = \sigma_{F_T T} + \mathcal{S}_T k $$ No es un resultado exacto, sino una aproximación basada en un análisis de perturbación. Más concretamente, $\sigma(k,T)$ se perturba alrededor de $\sigma_0 = \sigma_{F_T T}$ en el orden 1 de la inclinación de la ATMF $\mathcal{S}_T \ll 1$ y la expansión de orden 1 resultante de la volatilidad de VS se lee entonces $$ \sigma_T = \sigma_{F_T T} - \frac{1}{2} \sigma_{F_T T}^2 T \mathcal{S}_T $$ que ya es un paso hacia la relación que busco.

Partiendo de la formulación integral de la volatilidad VS anterior, he elaborado una demostración (chapucera) de este resultado ya que no soy un experto en teoría de perturbaciones.

Así que si alguien está dispuesto a proporcionar una demostración rigurosa de cómo se puede utilizar la teoría de la perturbación aquí, o comentar la que tengo a continuación, sería un hombre feliz.

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Considere que la sonrisa IV que prevalece en $T$ es lineal en el log-forward moneyness $$ \sigma_{k T} = \sigma_{F_T T} + \mathcal{S}_T k $$

Wwe busca una expansión de la volatilidad de VS $\sigma_T$ tras considerar una perturbación de la sonrisa de la volatilidad implícita en torno a $\sigma_0 := \sigma_{F_T T}$ en el orden 1 en $\mathcal{S}_T$ . En otras palabras, buscamos \begin{align} \sigma_T &= \underbrace{\sigma_{T,0}}_{\text{Order 0 (no skew)}} + \underbrace{\delta \sigma_T}_{\text{Order 1 contrib. of skew}} \end{align} dada la sonrisa perturbada \begin{gather*} \sigma_{kT} = \sigma_0 + \delta{\sigma_{kT}} \\ \sigma_0 := \sigma_{F_T T},\, \delta{\sigma_{kT}} := \mathcal{S}_T k \end{gather*} En el caso no perturbado, es decir, la sonrisa plana $\sigma_0$ la volatilidad del VS es trivialmente igual a $\sigma_{T,0} = \sigma_0$ . En el caso perturbado, observamos en primer lugar que en el orden $1$ en $\mathcal{S}_T$ $$ \sigma^2_{kT} = \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \delta\sigma_{kT} $$ Entonces, a partir de los resultados del párrafo anterior obtenemos \begin{align} \require{cancel} \sigma_T^{2} + \delta \sigma_T^2 &= \color{blue}{\Bbb{E}_{\sigma_{kT}} \left[ \sigma^2_{kT} \right]} \\ &= \Bbb{E}_{\sigma_0 + \cancel{\delta \sigma_{kT}}} \left[ \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \delta\sigma_{kT} \right] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \mathcal{S}_T k \right) \phi_{X,\sigma_0} (k) dk \\ &= \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \mathcal{S}_T \int_{-\infty}^{+\infty} k \phi_{X,\sigma_0}(k) dk \\ &= \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \mathcal{S}_T \int_{-\infty}^{+\infty} k \phi( f_{\sigma_0}(k) ) f_{\sigma_0}'(k) dk \\ &= \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \mathcal{S}_T \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\sigma_0}^{-1}(z) \phi( z ) dz \\ &= \sigma_0^2 + 2 \sigma_0 \mathcal{S}_T \int_{-\infty}^{+\infty} \left( z - \frac{1}{2}\sigma_0 \sqrt{T}\right) \sigma_0 \sqrt{T} \phi(z) dz \\ &= \sigma_0^2 - \mathcal{S}_T \sigma_0^3 T \end{align} con las siguientes observaciones:

• En la segunda ecuación, observe cómo la sonrisa perturbada aparece explícitamente en el integrando, así como implícitamente en la densidad utilizada para calcular la expectativa. Para calcular la perturbación de orden uno en $\delta \sigma_{kT}$ Sin embargo, la contribución generada por la densidad desaparece (el mismo razonamiento que en el "Stochastic Volatility Modelin" de Bergomi, p.42), pero no estoy seguro de por qué
• El resto de la demostración es sencilla en cuanto se observa que el mapeo $f$ se convierte en lineal cuando se considera una sonrisa plana, que es el caso del problema no perturbado.

Al final del día, en la orden 1 de $\mathcal{S}_T$ , obtenemos que $$ \delta \sigma_T^2 = - \mathcal{S}_T T \sigma_0^3 $$ y como en ese orden $\delta \sigma_T = \frac{1}{2 \sigma_0} \delta \sigma_T^2$ , de $\sigma_0 = \sigma_{F_T T}$ finalmente obtenemos \begin{align} \sigma_T &= \sigma_0 + \delta\sigma_T \\ &= \sigma_{F_T T} - \frac{1}{2} \mathcal{S}_T \sigma_{F_T T}^2 T \end{align} Pero, de forma equivalente, ya que $\sigma_0 = \sigma_T$ podemos escribir que, en el orden 1 de la inclinación \begin{align} \sigma_{F_T T} &= \sigma_T + \frac{1}{2} \mathcal{S}_T \sigma_{T}^2 T \end{align} que es la ecuación (8.26) del libro de Bergomi. Nos dice que para las sonrisas de equidad que son típicamente negativas ( $\mathcal{S}_T < 0$ ), la volatilidad de los cajeros automáticos será inferior a la de los cajeros automáticos.

Answer 1

Supongamos que la volatilidad implícita para el dinero log-forward $k$ tiene una expansión $$ \sigma(k,T)=\sigma_0+\alpha k $$ Entonces hasta los términos de primer orden, $$ f(k)=\frac{k}{\sigma_0 \sqrt{T}}+\frac{\sqrt{T}}{2}(\sigma_0+\alpha k)=\frac{(\sigma_0+\alpha k)-\sigma_0}{\alpha\sigma_0 \sqrt{T}}+\frac{\sqrt{T}}{2}(\sigma_0+\alpha k)= $$ $$ =\bigg(\frac{1}{\alpha\sigma_0 \sqrt{T}}+\frac{\sqrt{T}}{2}\bigg)(\sigma_0+\alpha k)-\frac{1}{\alpha\sqrt{T}} $$ Entonces $$ \sigma_0+\alpha k=\frac{f(k)+\frac{1}{\alpha\sqrt{T}}}{\frac{1}{\alpha\sigma_0 \sqrt{T}}+\frac{\sqrt{T}}{2}}=\frac{2\sigma_0}{2+\alpha\sigma_0T}(\alpha\sqrt{T}f(k)+1) $$ Cambio de variables $z=f(k)$ en la integral obtenemos $$ \sigma^2_T=\int^\infty_{-\infty}(\sigma_0+\alpha k)^2\phi(f(k))f'(k)dk= $$ $$ =\int^\infty_{-\infty} \bigg(\frac{2\sigma_0}{2+\alpha\sigma_0T}(\alpha\sqrt{T}z+1)\bigg)^2\phi(z)dz= $$ desde $\int^\infty_{-\infty}\phi(z)dz=1,$ $\int^\infty_{-\infty}z\phi(z)dz=0,$ $\int^\infty_{-\infty}z^2\phi(z)dz=1,$ $$ =\frac{4\sigma^2_0(\alpha^2T+1)}{(2+\alpha\sigma_0 T)^2} $$ La aproximación resultante es $$ \sigma^2_T\approx \frac{4\sigma^2_0(\alpha^2T+1)}{(2+\alpha\sigma_0 T)^2}, $$ donde $\sigma(k,T)=\sigma_0+\alpha k$