Derivación de la Fórmula de VIX

Question

He leído muchas derivaciones sobre la fórmula del VIX. Puedo decir que es una huelga justa -ajustada- para el swap de varianza. Pero no puedo ver cómo se pasa de la tasa de swap de varianza a la fórmula del VIX. En particular, no puedo ver la última parte de la fórmula del VIX alojada aquí en la página 4.

¿Podrías por favor guiarme desde Nota técnica 22 de Hull:

\begin{equation} \ E(V)= \frac{2}{T}ln\frac{F_{0}}{S^{*}} - \frac{2}{T}\left[ \frac{F_{0}}{S^{*}}-1\right] +\frac{2}{T}\left[\int_{K=0}^{S^{*}} \frac{1}{K^{2}}e^{RT}p(K)dK + \int_{K=S^{*}}^{\infty} \frac{1}{K^{2}}e^{RT}c(K)dK\right] \end{equation}

a Fórmula del VIX \begin{equation} \sigma^{2}= \frac{2}{T}\sum_i^{}\frac{\triangle K_{i}}{K_{i}^{2}}e^{RT}Q(K_{i}) - \frac{1}{T}\left[ \frac{F}{K_{0}}-1\right]^{2} \end{equation}

Answer 1

La pieza que te falta es una aproximación a través de la fórmula de Taylor del logaritmo:

$$\ln(1+x) \approx x-\frac{x^2}{2} \; .$$

Aplica esto al primer término en la fórmula final del artículo técnico:

$$\frac{2}{T}\ln\frac{F_{0}}{S^{*}} = \frac{2}{T}\ln\left(1+\left(\frac{F_{0}}{S^{*}}-1\right)\right) \approx \frac{2}{T}\left(\left(\frac{F_{0}}{S^{*}}-1\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{F_{0}}{S^{*}}-1\right)^2\right) \;.$$

Ahora, el primer término de esta aproximación se cancela con el segundo término de la fórmula del artículo técnico. Te queda el término cuadrático.