Americana Llamada: cuando es Europeo?

Question

Es un lugar bien propagación hecho de que en Black-Scholes (BS) para el modelo de acciones sin dividendos que sigue el Movimiento Browniano Geométrico (GBM), el precio de la Americana llamada coincide con la de su contraparte Europea. Con respecto a que tengo algunas preguntas:

1. Cuando quería comprobar la prueba de que, incluso a pesar de que tengo una biblioteca de FinMath libros, sólo he encontrado la prueba en Shreve del "Cálculo Estocástico para Financiar Vol II". La prueba no es probabilística, y sólo se basa en el hecho de que el precio de la llamada es submartingale, por lo tanto por el teorema de muestreo opcional no es óptima a principios de ejercicio de la misma. Sin embargo, yo no era capaz de encontrar una prueba que es más en el espíritu de la PDE enfoque de fijación de precios. Por ejemplo, yo no veo en los libros de Wilmott, lo que me sorprendió mucho. Así que la primera pregunta: ¿cuáles son las otras fuentes con la prueba, y existen pruebas diferentes de los que en Shreve?

2. Basado en la prueba por Shreve, no parece que el subyacente debe seguir GBM, la única parte importante parece ser que vamos a ser capaces de tomar el descuento fuera de la expectativa, por lo que, en particular, para determinista de las tasas de interés. Supongo que implica que muchos otros modelos: local de la volatilidad volatilidad estocástica etc. también implica que el precio de la Americana llamada a ser igual a la convocatoria Europea de precio. Siguiente pensamiento fue acerca de los modelos con saltos - pero espera... de acciones pago de dividendos es un caso particular de el salto del modelo, y tenemos la certeza de que en tal caso Estadounidense llamada la pena estrictamente más que la Europea. Es debido al hecho de que no existe probabilidad de la medida en virtud de la cual el (con descuento) precio de las acciones es una martingala?

En general: ¿qué son suficientes (y tal vez necesario) condiciones para la Americana llamada precio es igual a la convocatoria Europea de precio. Esta pregunta es puramente teórico, es decir, para que los modelos hace que mantener. ¿De que valen también para los futuros sobre acciones, Renta Fija y FX de productos de la subyacente? Desde la primera vista, al menos en el caso de los futuros parece que a medida que su precio puede ser modelado por GBM, la misma teoría se aplica (que no es nada más que otro underliyng, no nos importa si es un de valores o de futuros sobre acciones), sin embargo, he oído en alguna parte que puede ser estrictamente subóptima para mantener Estadounidense pide a los futuros hasta el vencimiento.

Answer 1

es un modelo libre de resultado. Las condiciones son $d\leq 0, r\geq 0.$

La prueba es que para un europeo $$ C_t > S_t - Ke^{-r(T-t)} \geq S_T - K $$ y el Americano es un valor de al menos tanto nunca ejercicio temprano. Así que vale la pena el mismo como Europeo.

Para demostrar la desigualdad, observar si $B_T =1,$ tomar $K$ unidades de $B_t$ y uno de $C_t$ para conseguir algo que vale la pena $$ \max(S_T,K) \geq S_T $$ en el tiempo $T$. Así que usted debe tener $$ C_t + K B_t > S_t $$ antes de.

(usted necesita para obtener mi libro "Conceptos" en su biblioteca!)

Answer 2

También puede ser demostrado por Jenson la desigualdad. Sólo puede ser óptima para el ejercicio de la opción Americana si la opción está por debajo de su valor intrínseco; pero desde el "max" de la función es convexa, el espacio Europeo de precio satisface la siguiente desigualdad: $$c(S_t, t)=e^{-rT}\mathbb{E}[(S_T-K)^+]>=e^{-rT}\left(\mathbb{E}[S_T]-\mathbb{E}[K]\derecho)^+=S_t-Ke^{rT} $$ Las expectativas son adoptadas con respecto a la filtración generada por $S_t$ y están en el riesgo-neutral medida. El resto de la prueba de la siguiente manera Joshi la respuesta.

Answer 3

Para las opciones sobre futuros, el Estadounidense llamada vale más que la Europea, cuando las tasas de interés >0. Imaginar una opción que es profundo en el dinero. Cuando usted hace ejercicio, que se distribuyen de una posición de futuros, el cual está sujeto a la inmediata margen de variación (es decir, de recoger el intrínseca de inmediato). La comparables profundo en el dinero Europeo es la opción que vale la pena el PV de la intrisic.