¿Cuáles son las principales diferencias entre los modelos de tiempo discreto y continuo a la hora de modelar la dinámica de los precios de los activos?

Question

Mi intuición dice que ambos enfoques, los modelos de tiempo discreto y los modelos de tiempo continuo, serán modelos (es decir, aproximaciones) de la realidad. Por tanto, debería ser posible desarrollar modelos útiles en ambos ámbitos.

Modelos de tiempo continuo tienen más elegancia matemática y, por tanto, probablemente pueden aportar más maquinaria matemática al problema, lo que presumiblemente ayuda a derivar soluciones analíticas y límites asintóticos.

Modelos discretos corresponden más fácilmente a los datos y mediciones observados y son más fáciles de simular en los ordenadores.

Me han dicho que es posible discretizar modelos de tiempo continuo y viceversa, pero hay que tener cuidado al realizar esta transformación. ¿Podría destacar cuáles son los escollos más comunes, en particular cuando se modelan los precios de los activos? Si hay otras diferencias en la dinámica entre los dos enfoques (por ejemplo, posiblemente algo como las no linealidades, el caos, ... en uno y no en el otro) entonces me gustaría saberlo también.

Answer 1

Hablo principalmente como profesional del mercado cuando digo que creo que al final todos los modelos que se aplican a los datos y a los problemas de precios de la vida real están discretizados. Piénsalo, incluso el argumento de la cobertura BS es al final sólo una "superposición teórica de tiempo continuo" de los pasos reales de tiempo discreto y las re-cubiertas. Por ello, algunos de los supuestos limitantes de BS. Usted no tiene precios continuos, incluso si los ticks vienen con una frecuencia de milisegundos, siguen siendo de tiempo discreto. Por lo tanto, no se puede cubrir continuamente, sino que sólo se puede volver a cubrir cuando se descubre un nuevo precio.

Los modelos de precios continuos son elegantes para trabajar desde un punto de vista matemático. Sin embargo, al final, sea cual sea el derivado o el valor hipotecario que se intente valorar, hay que recurrir a una versión discretizada de los algoritmos de fijación de precios. Esta es mi opinión. Yo no perdería demasiado tiempo en intentar averiguar cómo pasar de una versión a otra. Más bien te recomiendo que pienses en el problema en cuestión y en lo que realmente quieres resolver. Según mi experiencia, el 90% de las complejidades de la fijación de precios se reducen a encontrar una réplica del activo que se va a valorar en cuestión. Los simuladores de Montecarlo se han convertido en mi mejor amigo porque su aplicabilidad es muy versátil.

Answer 2

El tiempo continuo tiene una supuesta elegancia, pero rara vez es correcto. De todos modos, la mayoría de las personas que utilizan medidas de calidad rara vez se preocupan por la corrección, ya que no suelen basar sus modelos en la estadística. Sin medidas de bondad de ajuste, los modelos de tiempo continuo son una teoría elegante.

En general, también vemos que la mayoría de las coberturas ex-ante rara vez son buenas, ex-post. Tienen grandes elementos de direccionalidad. Hay un montón de alteraciones menores, e incluso kluges (por ejemplo, la cobertura delta mediante el uso de la "sonrisa"). Incluso cosas sencillas como la calibración del vol implícito son técnicamente erróneas (recordemos que la dinámica de la medida P en Black-Scholes utiliza el mismo vol -es decir, el cambio de medida no cambia el vol, por lo que técnicamente debe ser el mismo que el dado por la dinámica histórica, la DGP- en un mundo Black-Scholes, ¡no hay prima implícita-realizada!) De los muchos métodos estándar para la cobertura de swaptions que he visto y utilizado y probado, está bastante claro que ninguno es excelente.

En cierto modo, se podría decir que las finanzas en tiempo continuo, con sus bellas fórmulas y elegantes ecuaciones, no son más que un método para el splining (calibrar en 4 puntos de la sonrisa, e inferir todos los demás). Pero como digo rara vez los tipos de medida Q se preocupan por la realidad de la medida P. (excepción: el intento fallido de la comunidad Macro-Affine). La gente de Validación de Modelos intenta hacerlo correctamente, pero por lo que veo, sus métodos no son del todo satisfactorios.

Las finanzas en tiempo continuo nos proporcionan algunas fórmulas y reglas generales muy agradables. Pero el mundo que nos rodea se puede modelar más eficazmente en tiempo discreto. Además, la dinámica es mucho más rica en tiempo discreto. La autocorrelación, la estacionalidad, los largos lapsos de tiempo todos estos fenómenos son imposibles de encajar en las EDE.

Una debe conocer las matemáticas de tiempo continuo para entender e intuir la opcionalidad y los pagos no lineales. Pero hasta que los académicos y los profesionales empiecen a utilizar ecuaciones diferenciales estocásticas con retardo (utilizadas en áreas como el procesamiento de señales/ingeniería eléctrica y otras ciencias físicas) en las finanzas, podemos modelar muchos más fenómenos interesantes en tiempo discreto que en tiempo continuo.