El modelo de Heston está representado por el sistema bivariado de ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) \begin {align} & d{{S}_{t}}=rS_tdt+{ \sqrt\upsilon_t } d{{W}_{1}}(t) \\ & d{{ \upsilon }_{t}}= \kappa ( \theta - \upsilon_t ) dt+ \sigma { \sqrt\upsilon_t }d{{W}_{2}}(t) \\ \end {align} La forma más popular de estimar los parámetros del modelo de Heston es con funciones de pérdida funciones de pérdida. Este método utiliza el error entre los precios de mercado cotizados y los precios del modelo o entre las volatilidades implícitas del mercado y del modelo. Las estimaciones de los parámetros $\hat\Theta=(\hat\kappa, \hat\theta,\hat\sigma,\hat\upsilon_o,\hat\rho)$ son aquellos valores que minimizan el valor de la función de pérdida, de manera que los precios del modelo o las volatilidades implícitas se aproximen lo más posible a sus homólogos del mercado. En este sentido, se debe utilizar un algoritmo de minimización con restricciones, de modo que las restricciones de los parámetros \begin {align} \kappa >0\ ,\ \theta >0\ , \ \sigma >0 \, \ , \upsilon_0 >0 \, \ , \, \rho\in [-1,1] \end {align} se respetan. Dado que las funciones de pérdida utilizan los precios de las opciones de mercado (o la volatilidad implícita de mercado (o la volatilidad implícita derivada de esos precios), producen estimaciones de los parámetros neutrales al riesgo del modelo de Heston. Supongamos que tenemos un conjunto de $N_T $ vencimientos $\tau_i$ ( $ i=1,2,...,N_T)$ y establecer $N_K$ golpea $K_k$ ( $k=1,2,...,N_k$ ).Para cada vencimiento Para cada combinación de vencimiento y huelga $(\tau_t,\ K_k)$ tenemos precio de mercado $P(\tau_t , K_k)$ y el correspondiente precio del modelo $P(\tau_t , K_k;\Theta)=P_{t,k}^{\Theta}$ generado por el modelo Heston. A cada opción se adjunta un peso opcional $w_{t,k}$ . Existen Hay muchas formas posibles de definir una función de pérdida, pero suelen caer en una de dos categorías: las basadas en los precios y las basadas en las volatilidades implícitas. La primera categoría de funciones de pérdida es la que minimiza el error entre los precios cotizados y los precios modelo. los precios cotizados y los precios modelo. El error suele definirse como la diferencia al cuadrado entre los precios cotizados y los del modelo, o el valor absoluto de la diferencia; también pueden utilizarse errores relativos. También se pueden utilizar errores relativos. Por ejemplo, las estimaciones de los parámetros obtenidas mediante la suma de cuadrados del error medio (MSE). error medio de la función de pérdida (MSE) se obtienen minimizando \begin {align} \frac {1}{N} \sum_ {t,k}w_{t,k}(P_{t,k}-P_{t,k}^{ \Theta })^2 \end {align} con respecto a $\Theta$ donde $N$ es el número de citas. La suma del error medio relativo de cuadrados (RMSE) se obtienen con la función de pérdida \begin {align} \frac {1}{N} \sum_ {t,k}w_{t,k} \frac {(P_{t,k}-P_{t,k}^{ \Theta })^2}{P_{t,k}} \end {align} La segunda categoría de funciones de pérdida son las que minimizan el error entre las volatilidades cotizadas y las implícitas en el modelo. De nuevo, el error se define normalmente como la diferencia al cuadrado, diferencia absoluta o diferencia relativa, entre las volatilidades cotizadas y volatilidades implícitas del modelo. Esta categoría de función de pérdida es razonable, ya que las opciones cotizan a menudo en términos de volatilidad implícita, y dado que el ajuste del modelo se evalúa a menudo se evalúa comparando las volatilidades cotizadas y las implícitas en el modelo. Así, por ejemplo las estimaciones de los parámetros de la suma del error medio de la volatilidad implícita (IVMSE) se basadas en la función de pérdida \begin {align} \frac {1}{N} \sum_ {t,k}w_{t,k}(IV_{t,k}-IV_{t,k}^{ \Theta })^2 \end {align} donde $IV_{t,k}$ y $IV_{t,k}^\Theta$ son las volatilidades cotizadas y las implícitas del modelo respectivamente. La estimación de los parámetros del modelo Heston mediante funciones de pérdida ha sido utilizada por Bakshi, Cao y Chen (1997), Bams et al. (2009), Christoffersen y Jacobs (2004), Mikhailov y No¨ gel, (2003), y muchos otros. No hay consenso sobre qué función de pérdida es la mejor, pero Christoffersen y Jacobs (2004) señalan que la misma función de pérdida debería utilizarse para la estimación de los parámetros y para evaluar ajuste del modelo.
