Dado $G=\frac {C_n} {C_0}$, con $C_0$ el capital inicial y $C_n$ el capital final después de $n$ oficios,
el criterio de Kelly se deriva de la fracción óptima de capital para invertir en cada operación, mediante la maximización de la expectativa de $\mathbb{E}[\log G]$.
¿Por qué Kelly elegir para maximizar $\mathbb{E}[\log G]$ en lugar de simplemente maximización de $\mathbb{E}[G]$? ¿Cuál es la razón detrás de esta elección?
La respuesta corta es que:
La maximización de la rentabilidad esperada de los resultados en las apuestas de todo en su más alto retorno esperado de la inversión. En repetidas ocasiones haciendo lo largo del tiempo que normalmente conduce a la polarizada resultados: se vuelven increíblemente ricos o (más probable) en la indigencia.
Kelly original del problema estaba relacionado con repetidos de apuestas sobre los resultados binarios, pero la espera del registro de la riqueza objetivo de su problema de optimización se conecta de manera más general a lo que se llama un crecimiento de la cartera óptima. Deje que $\mathcal{S}$ denotar el conjunto factible de la rentabilidad de la cartera (en la que cada devolver $I \in \mathcal{S}$ es una variable aleatoria que denota una rentabilidad bruta como $\frac{X_{t+1}}{X_t}$). La idea es que por la elección de diferentes inversiones, podemos obtener cualquier devolución $I \in \mathcal{S}$ para nuestra cartera global. Un retorno de $R^* \in \mathcal{S}$ es llamado un crecimiento de la cartera óptima de retorno si se resuelve:
$$ \max_{I \in \mathcal{S}} \operatorname{E}[\log R] $$
Como muchas de las buenas ideas, el objetivo $\operatorname{E}[\log R]$ puede ser justificado filosóficamente en varias formas:
Como @Dave Harris en su respuesta, señala, es la intuición de este último, el atractivo de las propiedades de la maximización de la media geométrica, que inicialmente motivaron la espera de registro objetivo.
Tenga en cuenta también la media geométrica de retorno es la exponencial de la (aritmética) media logarítmica de devolución: $$\left(\prod_{i=1}^t R_i \derecho)^\frac{1}{t} = \exp\left( \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t \log R_i \right)$$ Cuando se maximiza el registro de devolución o de registro de la riqueza, de que está maximizando la espera geométrica de la tasa de crecimiento.
Asumir un ALCOHOLÍMETRO de la creación, donde nos repetidamente elegir un punto de vista estocástico de retorno $R$ (a partir de un conjunto $\mathcal{S}$). Registro de la riqueza en el tiempo $t$ es dada por el $\log W_t = \sum_{i=1}^t \log R_i$. Registro de la riqueza para el crecimiento de la cartera óptima es $\log W^*_t = \sum_{i=1}^t \log R^*_i$. Tenemos $\operatorname{E}[\log R^*] \geq \operatorname{E}[\log R]$ por la optimalidad de $R^*$. Por lo tanto, por la fuerte ley de los grandes números:
$$ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \left( \log W^*_t - \log W_t\derecho) \geq 0 \text{ casi seguramente}$$
Registro es una transformación monotónica así que si de registro de la riqueza es casi seguramente mayor, la riqueza es casi seguramente mayor. Algo para darse cuenta demasiado es que si $\operatorname{E}[\log R] < 0$, usted va a ir a la quiebra, casi con toda seguridad en el largo plazo.
Tal vez unintuitively, la maximización de la rentabilidad esperada, puede llevar fácilmente a la riqueza de partida hacia $0$ en la repetida contexto, en vez de crecer hacia $\infty$.
Por ejemplo, en el clásico Kelly problema el problema es elegir qué fracción $f \in [0, 1]$ de riqueza para asignar a una arriesgada, binario apuesta. Imagine usted gana $bf$ con una probabilidad de p $$ y perder $f$ con una probabilidad de 1$p$. La maximización de la rentabilidad esperada da el problema:
$$\max_{f \[0, 1]} p(1 + b, f) + (1-p)(1-f)$$
Esto es equivalente a:
$$\max_{f \[0, 1]} (p(b+1) - 1)f$$
Por lo tanto $f^* = 1$, apuesta todas sus riquezas, si la apuesta tiene expectativa positiva (es decir, $p(b+1) > 1$). En el límite de $t \rightarrow \infty$, esto los lleva a ir a la quiebra, casi con toda seguridad! Después de $t$ apuestas, usted tiene $1 - p^t$ la probabilidad de tener 0 de la riqueza. A la espera de registro de devolución es de $- \infty$.
La maximización de la expectativa de que el logaritmo da el problema: $$\max_{f \[0, 1]} p \log (1 + b, f) + (1-p) \log (1-f)$$
Suponiendo que la apuesta tiene expectativa positiva, las limitaciones que $f \in [0, 1]$ no se unen y la solución está dada por la condición de primer orden:
$$ \frac{pb}{1 + bf} = \frac{1-p}{1 - f} $$
que se simplifica a
$$ f^* = \frac{p(b+1) - 1}{b} $$
Mientras que el crecimiento de la cartera óptima tiene muchas propiedades atractivas, al menos, dos puntos generales de precaución está en orden:
Modelos sobre la distribución conjunta de la seguridad de los rendimientos son muy imprecisa. Usted puede conseguir en extremadamente peligroso si entra basura, sale basura problemas en el cómputo de una cierta noción de una cartera óptima basada en muy incierto entradas.
La maximización de $E[\log(G)]$ que corresponde a una función de utilidad cóncava es una forma sutil de la incorporación de la aversión al riesgo en la utilidad.
La maximización de $E[G]$ es básicamente diciendo que usted tiene lineal de la utilidad que corresponde a infinito apetito por el riesgo, porque tan pronto como usted tiene expectativa positiva que está dispuesto a apostar tanto de capital como sea posible sin importar la variación resultante de la cartera. En la práctica se puede llevar fácilmente a la ruina casi seguro que si el juego es lo suficientemente largo, aunque el lineal de la función de utilidad es ciego a eso.
Por otro lado, desde $\log$ es cóncava, el término de segundo orden se asegura de que habrá un equilibrio entre la expectativa y la varianza.
El documento original se ocupa de la optimización de la larga geométrica de retorno. De hecho, él no explícitamente optimizar $\mathbb{E}(G)$ o $\mathbb{E}(\log(G))$. Él también asume las probabilidades son conocidas. La expectativa está implícita en su suposición de que $$G=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\log\left(\frac{V_N}{V_0}\derecho).$$
Él señala que el $$V_N=(1+\mathcal{l})^W(1-\mathcal{l})^LV_0.$$ El uso de los registros es la obvia relación multiplicativa. Desde $V_N$ es la única variable controlable y su estructura es multiplicativo, tomando los registros simplifica el cálculo, sin pérdida de generalidad. Obviamente, esto se reduce a $$G=\frac{W}{N}\log(1+\mathcal{l})+\frac{L}{N}\log(1-\mathcal{l})$$
La introducción de los logaritmos sólo tiene que ver con el hecho de que él es la optimización del tiempo de ejecución geométrica de la tasa de crecimiento.
Una cita del artículo original puede darle una respuesta a su pregunta ya que no tiene nada que ver con la aversión al riesgo, al menos de Kelly en la mente.
El jugador se introduce de la siguiente manera esencialmente un criterio diferente de la clásica jugador. En cada apuesta que maximiza el valor esperado del logaritmo de su capital. La razón no tiene nada que ver con el valor de la función que se adjunta para su dinero, sino que simplemente con el hecho de que es el logaritmo de la que es aditivo en apuestas repetidas y a la que la ley de los grandes se aplica el número. Supongamos que la situación fuese diferente; por ejemplo, si el jugador esposa le permitió a la apuesta de un dólar cada semana, pero no a reinvertir sus ganancias. Él debe entonces aumentar su expectativa (valor esperado de capital) en cada apuesta. Él habría apostado todo su capital disponible (un dólar) en el evento dando la más alta expectativa.
Esto es de hecho una muy buena pregunta!
Allí fueron (y son) muy fuertes debates, donde incluso campeones académicos como Paul Samuelson participaron!
Un muy buen punto de partida para obtener algunos de los principales argumentos es el siguiente capítulo 4 del libro "las Fortunas de la Fórmula" por William Poundstone:
Lo esencial es que "en el largo plazo", utilizando el criterio de Kelly sería el de asegurar un resultado óptimo crecimiento sabio "en promedio". Pero como todos sabemos, "en el largo plazo todos estamos muertos" y "en promedio" no quiere decir que es el mejor resultado para Usted. En general el criterio de Kelly es criticado por tomar demasiado riesgo (es decir, generar demasiada volatilidad) que es la razón por métodos como, por ejemplo, "la Mitad de Kelly" están siendo utilizados.
De una manera que no es sólo un matemático debate, pero toca también en más filosóficos y psicológicos puntos. Como ya he dicho, es una muy interesante pregunta, que se puede llevar por todo tipo de caminos diferentes.
Para mí fue uno de los puntos de partida de QuantFinance y todavía estoy fascinado por ella.
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