Como el problema está formulado actualmente, usted tiene una decisión binaria (ya sea para comprar las tarjetas o no) y una sola variable de estado (su actual riqueza). Estoy suponiendo que la cubierta se modifica cada juego.
Una función de política será una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \{0, 1\}$ que va a decir si comprar o no comprar las tarjetas en función de su riqueza.
Cómo encontrar un razonable $f$? Si sus preferencias sobre el riesgo de satisfacer la de Von Neumann-Morgernstern axiomas, esas preferencias pueden ser representadas por una función de utilidad esperada. A continuación, puede comparar la utilidad esperada de la compra de las tarjetas de frente no comprar las tarjetas y encontrar lo que es el superior.
Como ejemplo, voy a utilizar $u(x)=\log(x)$, que es el mismo objetivo que el criterio de Kelly.
La Teoría De La Utilidad Esperada
Vamos a $w$ ser un escalar que denota su riqueza, $$ X una variable aleatoria que denota la suma de las tres cartas, y $u(x)$ una función de utilidad de bernoulli, cuya curvatura se formaliza la noción de que la aversión al riesgo.
Por $w=1000$, simplemente podemos comparar a $u(w)$ con $\operatorname{E}[u(X+w-15)]$ donde $u(x)$ es, quizás, algo así como $u(x) = \log x$.
Cuánto estaríamos dispuestos a para este juego de azar?
Resolver por $p$ en:
$$u(w) = \mathrm{E}[ u(w + X - p) ] $$
Código de MATLAB para hacer esto:
cards = ones(4,1) * (1:13); % Matrix of all the cards
deck = cards(:); % vectorize it
three_card_hands = combnk(deck, 3); % all combinations of 3 card hands
X = sum(three_card_hands, 2); % sum across columns to get a vector with all 3 card sums
w = 1000; % set initial wealth
myfun = @(p) mean(log(X+w-p)) - log(w)
p = fzero(myfun, 15)
Calculo que en una riqueza de \$1000 y el uso de registro de la utilidad que estaría dispuesto a pagar 20.9798 para las 3 cartas. En una riqueza o $w=50$, usted todavía estaría dispuesto a pagar 20.3 para las tarjetas. Si sólo hubieras \$15, tendría que comprar las tarjetas, ya $\log(15) < \operatorname{E}[\log(15 + X - 15)]$. Usted siempre comprar!
Un útil, concepto relacionado es la certeza equivalente que discuto en esta respuesta.
Clásico Kelly criterios
Kelly apuestas es elegir un tamaño de la apuesta para maximizar la espera de la tasa de crecimiento de su riqueza, que es equivalente a la maximización de la espera del registro de la riqueza (es decir, utiliza un registro de la función de utilidad).
(Digresión: la maximización de su riqueza esperada, normalmente conduce a soluciones donde se apuesta todo en cualquier positivo valor esperado de la apuesta, pero ir a la quiebra casi seguro. Eso es terriblemente tonto! Espera que la riqueza es un mal objetivo. Kelly la idea es que la maximización de la espera logaritmo de la riqueza tiene mucho mejor propiedades)
El clásico de Kelly apuestas pregunta de ¿qué fracción de su riqueza para la apuesta es una cuestión diferente de la presentada aquí. Para la diversión, podemos resolver para el Kelly de la fracción:
\begin{ecuación}
\begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}}
\mbox{maximizar (más de $\alpha$)} & \operatorname{E}[\log(w + \alpha (X - 15))] \\
\end{array}
\end{ecuación}
Resolver esto con código de MATLAB:
a = fmincon(@(a) -sum(log(w+a*w*(X/15-1))), 1)
Me parece óptimo $\alpha^* \aprox 1.2488$, es decir, el Kelly de la fracción es gastar $\aprox 124.88\%$ de su riqueza cada apuesta. (Esto nunca puede llevarlo debajo de cero, porque se puede perder en la mayoría de los $\frac{12}{15}=80\%$ de su apuesta). Si $\frac{1}{22100}$, peor de los casos ocurre de dibujo de los tres ases, se pierde el 99,9% de su riqueza! En la mediana de los casos, agregar el 50% de su riqueza. (Sí, Kelly apuestas es bastante agresivo.)
Riesgo de la ruina? (Simulación Monte-Carlo)
En una rápida Monte-Carlo sim escribí de 1 millón de pistas de hasta 2000 obras de teatro, el mínimo de la riqueza que yo nunca había era 960, y el mínimo de acabar con la riqueza (después de 2000 obras de teatro), fue 11533.
El juego es increíblemente atractivo a un precio de 15.
Pensar de manera más amplia
Como @Attack68 la respuesta se describe, casi sin duda, quiero poner en clásicos, riesgo en el comercio de las técnicas de control.
Un riesgo real aquí es el riesgo de contraparte o el riesgo de que el juego es de alguna manera diferente de lo que he modelado aquí. (por ejemplo. ¿por qué diablos iba a su contraparte jugar a este juego loco? Está usted conseguir estafado?) Si usted pierde más de \$40 a jugar a este juego, que plantea serias dudas de que algo está mal y no estás jugando el juego de modelado.
Puede ser útil disponer de controles de riesgo robusto modelo de misspecification. Jugando una estrategia agresiva que supone que su modelo es exactamente correcta, puede ser muy peligroso. Wall Street tiene muchas historias de fondos/empresas de estallar debido al riesgo fuera del modelo.
