Realmente estoy teniendo un momento terrible de aplicar el teorema de Girsanov para ir desde el mundo real de la medida $P$ a el riesgo-neutral de la medida $P$. Quiero determinar la rentabilidad de un derivado basado en un activo que es el pago de dividendos, por lo que los dividendos se afecta el valor de los activos por cambiar la tendencia negativa, pero no son consideradas a la hora de calcular la rentabilidad, porque es sólo deriva de los precios de los activos a lo largo del tiempo.
Comenzamos en el mundo real de la medida $P$. Estamos interesados en algunos de índice, $S_t$, lo que creo que podemos tratar como una sola entidad como una de stock y de los cuales podemos observar en el mundo real. Tiene la volatilidad de los $\sigma$. También sabemos que este índice es el pago de dividendos continuamente a una tasa de $\delta$. El índice se describe como "después de un movimiento Browniano geométrico", que a mí me dice que no hay ninguna otra deriva pasando, así que creo que $\mu$ a $0 - \delta$. Primera pregunta: ¿Es normal asumir que ningún otro a la deriva?
$dSt = (-\delta) St dt + \sigma St dWt$
Donde $dWt$ son estándar Wiener incrementos.
Así que, claramente por debajo de los $P$, nuestro índice de activos ha de deriva $-\delta$ porque es el pago de dividendos.
Si alguien realmente tiene el activo, a continuación, se puede reinvertir los dividendos, pero sólo estamos interesados en el valor de los activos para determinar la rentabilidad de un derivado.
Así que lo que queremos hacer ahora es determinar el valor esperado de los activos bajo el riesgo de neutro medida, $P$. Queremos que este valor esperado, con descuento por el valor de un bono de ganar la tasa libre de riesgo, a ser una martingala en esta medida, por lo que el activo debe también la variación en la tasa libre de riesgo. De esta manera, un activo bajo el riesgo de neutro medida con la volatilidad 0 es equivalente a un bono.
Para lograr esto, queremos cambiar la deriva de nuestro proceso desde $-\delta$ bajo $P$ a $r$ bajo $P$. Se define un nuevo proceso de
$X_t = \theta t + W_t$
donde
$\theta = \frac{(-\delta - r)}{\sigma}$
Si consideramos ahora el descuento en los precios de los activos $S_t^* = S_t / Bt = S_t e^{-rt}$, tenemos los siguientes.
$dSt^* = (-\delta - r), St^* dt + \sigma, St^* dWt$
$dSt^* = (-\delta - r), St^* dt + \sigma, St^* (X_t - \theta)$
$dSt^* = (-\delta - r), St^* dt + \sigma, St^* (X_t - \frac{-\delta - r}{\sigma})$
$dSt^* = \sigma, St^* X_t$
Donde ahora tenemos el proceso $St^*$ como una geométrico Browniano sin deriva si estamos por debajo de los $P$ y con la misma deriva, como antes, por debajo de los $P$. Todo lo que hemos hecho fue puesto $(X_t-\theta)$ en la $W_t$ y estos son iguales por definición.
Por lo menos de $P$, y sin descontar, el proceso para el activo $S_t$ debe seguir
$dSt = r St dt + \sigma St dXt$
El dividendo de ser pagado por el activo es así de alguna manera "dentro" del movimiento browniano $X_t$ y que al parecer todo lo que vemos de ella?
En este punto, me gustaría parar y preguntar "¿en qué punto nos consideramos 'por debajo de los $Q$'?". Por google-fu, me encontré con un programa de ejemplo en R, donde hacen un binomio aproximación para el movimiento Browniano tomando constante el tamaño de los pasos hacia arriba o hacia abajo con diferentes propbabilities. La parte pertinente de código como se muestra:
n = 2000
t = (0:n)/n # [0/n, 1/n, .... n/n]
dt = 1/n
theta = 1
p = 0.5 * (1 - sqrt(dt) * theta)
u = runif(n) # Random uniform variates
dWP = ((u < .5) - (u > .5))*sqrt(dt) # increments under P
dWQ = ((u < p) - (u > p))*sqrt(dt) # increments under Q
WP[1:n+1] = cumsum(dWP)
WQ[1:n+1] = cumsum(dWQ)
XP = WP + theta*t # Theta exactly offsets the change in measure
XQ = WQ + theta*t # Now XQ == WP
Veo que están usando $p$ en lugar de 0,5 a tomar decisiones sobre el signo en el binario de discretización, pero si tenemos acceso a real aleatoria normal varia es esto necesario? No debería ser suficiente para definir de manera simple $\theta$ apropiadamente como el anterior y, a continuación, utilizar y $W_t$ derivar $X_t$, directamente? Aunque, si hacemos eso, entonces nos van a partir de $W$ a $X$, pero no entiendo cómo llegamos desde $P$, a $Q$ si eso sucediera.
La rentabilidad de nuestros activos, entonces, es el descuento de las expectativas en virtud de la riesgo-neutral medida. Así que evolucionar el proceso de $S_t$ virtud de la medida $Q$ hasta que venza el tiempo T, calcular la rentabilidad. Repita esto unas mil veces y, a continuación, tomar el promedio de descuento y de nuevo a $t = 0$ para obtener el precio.
Pensé que todo esto parecía bastante razonable y tenía sentido, pero cuando intento ponerlo en práctica, me sale nada como lo que yo esperaba. ¿Alguien puede confirmar que la historia que acaba de ser presentado acerca de cómo llegamos al riesgo neutral medida es la correcta?
Una pregunta más general: $W_t$ es una martingala bajo $P$. Lo cambiamos y medidas de cambio para crear $X_t$ y tiene que ser una martingala bajo $P$. Nosotros, a continuación, el modelo de los activos basados en el proceso de $X_t$ con la deriva r. Si todo lo que quería era un proceso en virtud del cual las acciones se desplaza a la tasa libre de riesgo, lo que obtenemos por el cambio de $W$ a $X$ y $P$ a $P$ si exactamente se compensan entre sí? ¿Por qué no usar $W_t$? ¿Y qué pasó con el dividendo?
Si el stock de proceso está a la deriva hacia abajo a $-\delta dt$ bajo $P$, lo que lo hace realmente bajo $P$? No sólo se puede mirar como a la deriva en el libre de riesgo-tasa porque entonces el dividendo habría tenido ningún efecto en absoluto.
Además de la búsqueda producido algunas sugerencias que debe ser a la deriva en $r-\delta$, porque se supone que los dividendos son invertidas en bonos. ¿Por qué hemos de hacer tal suposición? Porque queremos considerar una cartera que contiene el activo y no activo?
