¿Por qué esta integral estocástica es una martingala?

Question

Supongamos que:

• $W^*_t$ es un proceso de Wiener bajo la medida de probabilidad $\mathbb{P}^*$ y;
• $\tilde{S}_t=S_0+\sigma\int_{0}^{t}S(u)dW^*_s$ .

En mis notas de clase, dice que $\tilde{S}_t$ es una martingala bajo $\mathbb{P}^*$ " debido a que la integral estocástica de 0 a t con respecto al movimiento browniano es una martingala ".

¿Por qué es correcta esta cita (en negrita)?

Answer 1

En la integral

$$\int_0^t S_u dW^{*}_u \, ,$$

$dW^{*}_u \equiv W^{*}_{u+du} - W^{*}_u$ es independiente del integrando $S_u$ .

Así que, $\mathbb{E}\left[ \int_0^t S_u dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \int_0^t \mathbb{E}\left[S_u \middle\vert \mathcal{F}_0\right]\mathbb{E}\left[dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = 0$ ya que $\mathbb{E}\left[dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0 \right] = 0$ .

Por lo tanto, $\mathbb{E}\left[ S_t\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[ S_0\middle\vert \mathcal{F}_0\right] + \mathbb{E}\left[ \int_0^t S_u dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[ S_0\middle\vert \mathcal{F}_0\right]$ .

Para abordar los comentarios de Gordon de que necesitamos demostrar que la integral es una martingala, recordemos que $g_t$ es una martingala si, para $s < t$ , $$\mathbb{E}\left[ g_t \middle\vert \mathcal{F}_s \right] = g_s \, .$$ Ahora dejemos que $g_t = \int_0^t S_u dW^{*}_u$ . $$\mathbb{E}\left[ g_t \middle\vert \mathcal{F}_s \right] = \mathbb{E}\left[ \int_0^s S_u dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_s\right] + \mathbb{E}\left[ \int_s^t S_u dW^{*}_u\middle\vert \mathcal{F}_s\right] = \int_0^s S_u dW^{*}_u + 0 = g_s \, . $$

Answer 2

Mi objetivo es dar un un cuidadoso tratamiento matemático a esta respuesta, mientras sigue el fantástico libro "Basic Stochastic Processes" de Brzezniak y Zastawniak.

La razón por la que pongo esta respuesta es doble: en primer lugar, para complementar la respuesta de @William S. Wong añadiendo mayor complejidad matemática para otros usuarios de la web, y en segundo lugar para confirmar que entiendo la solución. Para ello, agradezco cualquier mejora/corrección.

La razón por la que preguntó esta pregunta, es en realidad porque quería saber si había una forma más concisa, aunque rigurosa, de abordar este problema.

Definiciones

Proceso de pasos aleatorios

Llamaremos a $f(t), t\geq0$ un proceso aleatorio escalonado si existe una secuencia finita de números $0=t_0<t_1<\cdots<t_n$ y variables aleatorias cuadradas integrables $\eta_0,\eta_1,\cdots,\eta_{n-1}$ tal que $$f(t)=\sum_{j=0}^{n-1}\eta_j1_{[t_j,t_{j+1})}(t)$$ donde $\eta_j$ es $\mathcal{F}_t$ -medible para $j=0,1,\cdots,n-1$ . El conjunto de procesos aleatorios escalonados se denotará $M^2_{\mbox{step}}$ .

La integral estocástica (para procesos escalonados)

La integral estocástica de un proceso aleatorio escalonado $f \in M^2_{\mbox{step}}$ se define por $$I(f)=\sum_{j=0}^{n-1}\eta_j(W(t_{j+1})-W(t_j)).$$

La integral estocástica $I(f)$ se ha definido ahora para $M^2_{\mbox{Step}}$ . Ahora ampliamos esta definición a una clase más amplia de procesos por aproximación.

Los procesos "aproximativos" $M^2$

Denotamos por $M^2$ la clase de procesos estocásticos $f(t), t\geq 0$ tal que $$E\left(\int_0^\infty|f(t)|^2dt\right) < \infty$$ y hay una secuencia $f_1,f_2,\cdots,\in M^2_{\mbox{step}}$ de procesos aleatorios escalonados tales que $$\lim_{n\to\infty} E\left(\int_0^\infty|f(t)-f_n(t)|^2dt\right)=0.$$

En este caso, diremos que la secuencia de procesos aleatorios escalonados $f_1,f_2,\cdots$ se aproxima a $f$ en $M^2$ .

La integral estocástica de Ito (de $0$ a $\infty$ )

Llamamos $I(f) \in L^2$ la integral estocástica de Ito (de $0$ a $\infty$ ) de $f\in M^2$ si $$\lim_{n\to\infty}E\left(|I(f)-I(f_n)|^2\right)=0$$ para cualquier secuencia $f_1,f_2,\cdots \in M^2_{\mbox{step}}$ que se aproxima a $f$ en $M^2$ . También escribiremos $$\int_0^\infty f(t) dW(t)$$ en lugar de $I(f)$ .

La integral estocástica de Ito (de $0$ a $T$ )

Para cualquier $T>0$ lo denotaremos por $M^2_{T}$ el espacio de todos los procesos estocásticos $f(t)$ , $t \geq 0$ tal que $1_{[0,T)}f \in M^2$ . La integral estocástica de Ito de $0$ a $T$ de $f \in M^2_T$ se define por $$I_T(f) \equiv \int_0^T f(t)dW(t) = I(1_{[0,T)}f).$$

Definición de una martingala

Un proceso estocástico $\xi(t)$ parametrizado por $t \in T$ se llama Martingale con respecto a la filtración $\mathcal{F}_t$ si:

• $\xi(t)$ es integrable para cada $t \in T$
• $\xi(t)$ es $\mathcal{F}_t$ -medible para cada $t \in T$
• $\xi(s) = E(\xi(t)|\mathcal{F}_s)$ por cada $s, t \in T$ tal que $s \leq t$ .

El tercer punto se llama la condición de Martingala.

Lema 1

Para cada proceso de paso aleatorio $f\in M_{step}^{2}$ la integral estocástica $\int_{0}^{t}f(s)dW(s)$ es una martingala.

Prueba del lema 1

Dejemos que $0\leq s < t$ y supongamos que $f \in M_{step}^{2}$ puede escribirse de la forma de nuestra definición, según la cual $$0=t_0 < t_1 < \cdots < t_k =s < t_{k+1} < \cdots < t_m = t < t_{m+1} < \cdots < t_n.$$ Denotaremos el incremento $W(t_{j+1}) - W(t_j)$ por $\Delta_j W$ . Entonces $$1_{[0,t]}f = \sum_{j=0}^{m-1} \eta_j 1_{[t_j,t_{j+1}]}$$ et $$I_t(f) = I(1_{[0,t]}f) = \sum_{j=0}^{m-1} \eta_j \Delta_j W,$$ que se adapta a $\mathcal{F}_t$ y cuadrado integrable, y por lo tanto integrable. Queda por calcular

$$E(I_t(f) | \mathcal{F}_s) = E(\sum_{j=0}^{m-1} \eta_j \Delta_j W | \mathcal{F}_s) $$

Si $j<k$ entonces $\eta_j$ y $\Delta_j W$ son $\mathcal{F}_s$ -medible y $$E(\eta_j \Delta_j W | \mathcal{F}_s) = \eta_j \Delta_j W. $$

Esto es llegar al corazón de la cuestión ahora. Tenga en cuenta que: Si $j\geq k$ entonces $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_{t_j}$ y

\begin{eqnarray*} E(\eta_{j}\Delta_{j}W|\mathcal{F}_{s}) & = & E(E(\eta_{j}\Delta_{j}W|\mathcal{F}_{t_{j}})|\mathcal{F}_{s})\mbox{ by the tower property}\\ & = & E(\eta_{j}E(\Delta_{j}W|\mathcal{F}_{t_{j}})|\mathcal{F}_{s})\mbox{ by taking out what's known}\\ & = & E(\eta_{j}|\mathcal{F}_{s})E(\Delta_{j}W)\mbox{ by independence}\\ & = & E(\eta_{j}|\mathcal{F}_{s})\times0\mbox{ by definition of Wiener process.} \end{eqnarray*} De ello se desprende que \begin{eqnarray*} E(I_{t}(f)|\mathcal{F}_{s}) & = & \sum_{j=0}^{k-1}\eta_{j}\Delta_{j}W\\ & = & I(1_{[0,s]}f)\\ & = & I_{s}(f). \end{eqnarray*}

Prueba de la propiedad Martingale

Finalmente mostramos que para cualquier $f\in M_{t}^{2}$ y para cualquier $0\leq s<t$ que $$ E\left(\int_{0}^{t}f(r)dW(r)|\mathcal{F}_{s}\right)=\int_{0}^{s}f(r)dW(r). $$ Nos acercamos a esto recordando que un proceso puede ser aproximado por una secuencia de procesos escalonados. Es decir, si $f$ pertenece a $M_{t}^{2}$ entonces $1_{[0,t)}f$ pertenece a $M^{2}$ . Sea $f_{1},f_{2},\cdots$ sea una secuencia de procesos en $M_{\mbox{step}}^{2}$ aproximando $1_{[0,t)}f$ . Por el lema 1, sabemos que $$ E\left(I(1_{[0,t)}f_{n})|\mathcal{F}_{s}\right)=I\left(1_{[0,s)}f_{n}\right) $$ para cada $n$ . Al tomar la $L^{2}$ límite de ambos lados de este igualdad como $n\to\infty$ demostraremos que $$ E\left(I(1_{[0,t)}f)|\mathcal{F}_{s}\right)=I\left(1_{[0,s)}f\right) $$ que es lo que tenemos que probar.

Lado derecho: observe que $1_{[0,s)}f_{1},1_{[0,s)}f_{2},\cdots$ es una secuencia en $M_{\mbox{step}}^{2}$ aproximando $1_{[0,s)}f$ así que $$ I\left(1_{[0,s)}f_{n}\right)\to I\left(1_{[0,s)}f\right)\mbox{ in }L^{2}\mbox{ as }n\to\infty. $$ A la izquierda: $1_{[0,t)}f_{1},1_{[0,t)}f_{2},\cdots$ también es un secuencia en $M_{\mbox{step}}^{2}$ aproximando $I(1_{[0,t)}f)$ , lo que implica que $$ I\left(1_{[0,t)}f_{n}\right)\to I\left(1_{[0,t)}f\right)\mbox{ in }L^{2}\mbox{ as }n\to\infty. $$ Ahora es posible demostrarlo, $$ E\left(I\left(1_{[0,t)}f_{n}\right)|\mathcal{F}_{s}\right)\to E\left(I\left(1_{[0,t)}f\right)|\mathcal{F}_{s}\right)\mbox{ in }L^{2}\mbox{ as }n\to\infty $$ lo que completa la prueba. ¿Por qué se cumple esta última ecuación? Es sutil... no es obvio... y la respuesta está dada en el Lemma 2.

Lema 2

Si $\xi$ y $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,$ son aleatorios cuadrados integrables tales que $\xi_{n}\to\xi$ en $L^{2}$ como $n\to\infty$ entonces $$ E\left(\xi_{n}|\mathcal{G}\right)\to E\left(\xi|\mathcal{G}\right)\mbox{ in }L^{2}\mbox{ as }n\to\infty $$ para cualquier $\sigma-$ campo $\mathcal{G}$ en $\Omega$ contenida en $\mathcal{F.}$

Prueba

Por la desigualdad de Jensens, \begin{eqnarray*} \left|E\left(\xi_{n}|\mathcal{G}\right)-E\left(\xi|\mathcal{G}\right)\right|^{2} & = & \left|E\left(\xi_{n}-\xi|\mathcal{G}\right)\right|^{2}\\ & \leq & E\left(\left|\xi_{n}-\xi\right|^{2}|\mathcal{G}\right), \end{eqnarray*} lo que implica que \begin{eqnarray*} E\left(\left|E\left(\xi_{n}|\mathcal{G}\right)-E\left(\xi|\mathcal{G}\right)\right|^{2}\right) & \leq & E\left(E\left(\left|\xi_{n}-\xi\right|^{2}|\mathcal{G}\right)\right)\\ & = & E\left(\left|\xi_{n}-\xi\right|^{2}\right)\to0 \end{eqnarray*} como $n\to\infty.$