¿Cuál es la media y la desviación estándar del proceso geométrico de Ornstein-Uhlenbeck?

Question

No sé cómo calcular la media y la varianza del siguiente proceso geométrico de Ornstein-Uhlenbeck.

$$d X(t) = a ( L - X_t ) dt + V X_t dW_t$$

¿Alguien puede calcular la media y la varianza de este proceso, así como incluir los cálculos de la solución?

Answer 1

De acuerdo, tomaré la respuesta de Jase y le daré el formato adecuado para que responda a tu pregunta y sea útil para los usuarios en el futuro.

Para mayor claridad, permítanme replantear la dinámica del Ornstein-Uhlenbeck modificado utilizando la notación más común:

$$dS_t = \theta (\mu-S_t)dt + \sigma S_t dW_t$$

Este blog Correo electrónico: proporciona una solución de forma cerrada:

$$ S_t = S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))$$

donde $\alpha=\theta+\frac{1}{2} \sigma^2$ .

Así que primero, la expectativa:

$$\mathbb{E}[S_t] = \mathbb{E}[ S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))]$$

$$\mathbb{E}[S_t] = \mathbb{E}[ S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t)] + \mathbb{E}[\frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))]$$

$$\mathbb{E}[S_t] = S_0 \mathbb{E}[\exp(- \alpha t + \sigma W_t)] + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $\exp(- \alpha t + \sigma W_t)$ puede expresarse como $\exp(- \alpha t + \sigma \sqrt{t} Z)$ (con $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ ) se distribuye de forma log-normal: $\sim \ln \mathcal{N} (-\alpha t, \sigma^2 t) $ para poder aplicar las fórmulas del distribución logarítmica normal para la media y la varianza.

$$\mathbb{E}[\exp(- \alpha t + \sigma \frac{1}{\sqrt{t}} Z)]= \exp(- \alpha t + \frac{1}{2} \frac{\sigma^2}{t})$$

Así, obtenemos

$$\mathbb{E}[S_t] = S_0 \exp(- \alpha t + \frac{1}{2} \sigma^2 t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))$$

Ahora la varianza:

$$ Var[S_t]= Var[S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))]$$

Como el segundo término es constante, obtenemos:

$$ Var[S_t]= Var[S_0 \exp(-\alpha t + \sigma W_t)]$$ $$ Var[S_t]= S_0^2 Var[\exp(- \alpha t + \sigma W_t)]$$

Utilizando de nuevo la fórmula log-normal $$ Var[S_t]= S_0^2 (\exp(\sigma^2 t)-1) \exp(-2 \alpha t+\sigma^2t)$$

En resumen, y sustituyendo $\alpha$ con $\theta+\frac{1}{2} \sigma^2$ nos encontramos con que:

$$\mathbb{E}[S_t] = S_0 \exp(- \theta t) + \frac{\theta \mu}{\theta+\frac{1}{2} \sigma^2} (1+ \exp(- (\theta+\frac{1}{2} \sigma^2) t))$$

$$ Var[S_t]= S_0^2 (\exp(\sigma^2 t)-1) \exp(-2 \theta t)$$

Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 2

Un proceso de OU

$ dx_t = \theta(\mu - x_t)dt + \sigma dW_t $

donde W sigue el proceso estándar de Wiener, entonces la media es $ \mu $ y la varianza es $ \sigma^2/2\theta $ . Puedes sustituir tus factores.

Uso de Mathematica

mean = Mean[OrnsteinUhlenbeckProcess[$ \mu,\sigma,\theta $]]

variance = Variance[OrnsteinUhlenbeckProcess[$ \mu,\sigma,\theta $]]