¿Cuál es el precio justo de esta opción?

Question

Sin tener que utilizar Black-Scholes, ¿cómo puedo valorar esta opción utilizando un argumento básico de no arbitraje?

Pregunta

Supongamos un tipo de interés cero y una acción con un precio actual de \$$1$ que no paga ningún dividendo. Cuando el precio alcanza el nivel \$$H$ ( $H>1$ ) por primera vez puede ejercer la opción y recibir \$$1$ . Cuál es el precio justo $C$ de la opción hoy?

Mis pensamientos hasta ahora

Según mi libro, la respuesta es $\frac{1}{H}$ . Estoy atascado en el razonamiento.

Está claro que no voy a pagar más que \$$\frac{1}{H}$ para esta opción. Si $C > \frac{1}{H}$ entonces simplemente vendería una opción y compraría $C$ comparte con $0$ inversión inicial. Entonces:

• Si las acciones alcanzan $H$ Pago la opción que cuesta \$$1$ pero tengo $\$ CH > 1$ de acciones.
• Si las acciones no alcanzan $H$ No le debo nada al dueño de la opción pero todavía tengo $CH>0$ acciones.

¿Y si $C<\frac{1}{H}$ ? Entonces $CH<1$ y podría comprar $1$ opción en \$$C$ al pedir prestado $C$ acciones en \$$1$ cada uno. Entonces:

• Si las acciones alcanzan $H$ entonces recibo $1-CH > 0$ una vez que pague el $C$ acciones en $\$ H$ cada uno.
• Pero si las acciones no llegar a $H$ entonces no puedo ejercer mi opción y sigo debiendo $C S_t $ donde $S_t$ es el precio actual de la acción. Aquí es donde estoy atascado.

Answer 1

Esta opción es una opción perpetua de un solo toque. Su precio depende del modelo utilizado; se requieren supuestos adicionales para obtener un precio independiente del modelo.

Consideremos primero 3 importantes modelos de ejemplo para la comilla de las acciones $S$ .

Constante: $S(t) \equiv 1.$ Hay $0$ probabilidad de que la perpetua de un solo toque sea rentable, por lo que su precio es $0.$

Black-Scholes: $S$ sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma > 0.$ Precio de la opción $C(S,t)$ satisface una EDP $C_t + 1/2 \sigma^2 S^2 C_{ss} = 0.$ Ya que es perpetua, $C(S,t)$ no puede depender de $t$ y así $C_t = 0.$ Entonces la EDP se reduce a una EDO $C_{ss}=0.$ Con los valores límite $C(0)=0$ y $C(H)=1$ la solución es $C(S)=S/H.$ Con $S(0)=1$ el valor de la opción es $1/H.$

Bachelier: $S$ sigue un movimiento browniano aritmético con volatilidad $\sigma > 0$ y no hay deriva. Como el movimiento browniano es recurrente, con probabilidad uno $S$ alcanzará el nivel $H$ . Así, el toque único perpetuo tiene valor $1.$

Nota: No se garantiza que el movimiento browniano geométrico alcance el nivel $H.$ Cuando tomamos el logaritmo de GBM, es un movimiento browniano aritmético con deriva $-1/2 \sigma^2 dt.$ Esta deriva negativa es suficiente para que algunas trayectorias de la mancha de tronco se mantengan por debajo del nivel de la barrera en $log(H).$ La probabilidad de alcanzar la barrera es el precio de la opción $C(S,t)$ que calculamos mediante la PDE anterior.

Ahora volvamos a la pregunta original sobre la creación de un precio de no arbitraje independiente del modelo. Está claro que, a partir de los ejemplos, es imposible; los distintos modelos dan precios diferentes.

Podemos llegar un poco más lejos suponiendo que $S(t) \ge 0.$ En este caso, el cartel original argumenta correctamente que el valor justo tiene $C \le 1/H.$ Pero seguimos teniendo una gama de precios. El modelo Black-Scholes con tipos cero y volatilidad positiva da $C = 1/H.$ Pero para el modelo constante el valor justo es 0. Cualquier valor $0 \le C \le 1/H$ es posible: considere el modelo en el que en el momento $0$ con probabilidad neutra de riesgo $HC$ la acción sigue un GBM con volatilidad $\sigma > 0$ y con probabilidad $1-HC$ se mantiene fijo en 1 para siempre. El valor esperado bajo la medida de riesgo neutral es $HC \cdot 1/H + (1-HC) \cdot 0 = C.$

No hay una opción obvia para una suposición oculta que descarte estos otros modelos. Así que no hay un valor justo sin modelo de esta opción.

Answer 2

Dejemos que $T= \inf\{t>0: S_t = H\}$ . Entonces el pago de la opción viene dado por $\mathbb{1}_{\{T < \infty\}}$ y el valor de la opción viene dado por $\mathbb{P}(T< \infty)$ . Suponemos que el proceso del precio de las acciones es un movimiento browniano geométrico, es decir, para $t>0$ $$ S_t = \exp\big(-\frac{1}{2}\sigma^2 t + \sigma W_t\big),$$ donde $\{W_t, t \geq 0\}$ es un movimiento browniano estándar, y $\sigma$ es la volatilidad. Entonces, \begin {align*} S_t = H \Leftrightarrow - \frac {1}{2} \sigma t + W_t = \frac {1}{ \sigma } \ln H. \end {align*} Dejemos que $\nu= -\frac{1}{2}\sigma$ y $y= \frac{1}{\sigma}\ln H$ . Es bien sabido que la densidad de $T$ viene dada por \begin {align*} f(t) = \frac {y}{ \sqrt {2 \pi t^3}} \exp\big (- \frac {1}{2t}(y- \nu t)^2 \big ) \mathbb {1}_{\{t \geq 0\}}; \end {align*} ver, por ejemplo, "Métodos matemáticos para los mercados financieros" por Jeanblanc et. al. Entonces, \begin {align*} \mathbb {P}(T< \infty ) &= e^{2 \nu y} \\ &= \frac {1}{H}. \end {align*} Es decir, $\frac{1}{H}$ es, en efecto, el precio de la opción bajo la hipótesis del precio de la acción con movimiento browniano geométrico.

Answer 3

Considere una cartera en la que vendo $\frac{1}{H}$ en acciones y utilizarlo para comprar una opción. Esta es una cartera de coste 0. Cuando llego a la barrera, el precio de esta cartera también es 0. La ley de un precio sugeriría que esta cartera debería tener un coste cero en todo momento. Así que el precio de la opción en cualquier momento debe ser $$ C_t = \frac{1}{H}*S_t $$

Además, la opción debería acabar ejerciéndose.

Answer 4

Supuestos importantes:
- tenemos un tipo de interés cero,
- es perpetua,

EDITAR:

• con probabilidad 1, el precio de la acción alcanzará la barrera $H$ (de hecho se trata de una suposición oculta de que el precio cambia continuamente o al menos podemos operar en el mismo momento en que $S_t = H$ ).

No, no podemos suponer eso, porque , como señaló @q.t.f, implicaría un arbitraje. De hecho sin arbitraje y con un tipo de interés cero tenemos ese proceso de precios de las acciones $S_t$ es una martingala con respecto a alguna probabilidad de "arbitraje". Así, $\mathbb{E}(S_t) = S_0$ para todos $t\geq 0$ y asumiendo $S_t$ es positivo, por la desigualdad de Doob $\mathbb{P}(\sup_t S_t > H) \leq \sup_t \mathbb{E}(S_t)/H = S_0/H$ .

En el momento 0 se crea una cartera de coste cero:
- usted compra 1 acción al precio actual $S_0 = 1$ ,
- usted vende $1/C_0$ opciones cada una por valor de $C_0$ .

En el momento del ejercicio:
- tienen que pagar 1 por cada $1/C_0$ opción, que le cuesta $1/C_0$ ,
- puedes vender tu parte por $H$ .
Esto le da $H - 1/C_0$ y no hay arbitraje, esto no puede ser positivo. Por lo tanto, tenemos $H - 1/C_0 \leq 0 \iff H \leq 1/C_0 \iff C_0 \leq 1/H$ .

Y de hecho es sólo una presentación diferente de los argumentos dados en el puesto de la pregunta.

Ahora, la OMI esto (y atado $C_0 \geq 0$ , ya que la opción no es ninguna obligación) es todo lo que podemos obtener por puros argumentos de arbitraje sin más supuestos. Y de nuevo estoy de acuerdo con @q.t.f: el precio depende del modelo y cualquier precio en el rango $[0, 1/H]$ es posible.

Consideremos el siguiente modelo: en el momento $t=1$ el precio salta hasta $S^u = 3$ o cae a $S^d = 1/2$ . Dejemos que $H=2$ . Afirmo que $C_0 = 1/5$ ya que este es el coste de replicar la cartera construida con $2/5$ acciones largas y prestadas $1/5$ de efectivo.

Este precio se calcula como $C_0 = \frac{S_0 - S^d}{S^u - S^d}$ , por lo que dejar que $S^u \to \infty$ podemos acercarnos a cero tanto como queramos.

Answer 5

¿La opción es perpetua? Si es así, la $C=1/H$ la respuesta parece sospechosa y $C=1$ es más plausible por las razones que se detallan a continuación.

Si $C<1$ , usted pide prestado \$$C$ comprar la opción, esperar a que el subyacente alcance la barrera, recibir \$1 payout, repay the \$$ C $ debt (we have assumed 0 interest) and pocket the difference. Similarly, if $ C>1$ entonces se puede arbitrar vendiendo la opción.

En otras palabras, el valor razonable de la opción es el valor esperado neutral al riesgo del pago descontado. Si modelamos el subyacente como un movimiento browniano geométrico, entonces llegará a $H$ casi seguro, por lo que el pago será de 1 dólar con probabilidad 1. Tenemos que descontar esta cantidad al día de hoy, y no sabemos cuándo se producirá el pago ( el tiempo de golpeo tendría una distribución de Lévy ), pero no es un obstáculo, porque con un tipo de interés cero, el factor de descuento siempre será igual a 1 sin importar el tiempo. Así que de nuevo llegamos a un valor razonable de 1$.