Varianza realizada en el modelo SVJJ (Heston con saltos)

Question

Estoy trabajando con el modelo de volatilidad estocástica con saltos en la dinámica del precio y de la volatilidad, es decir, la dinámica neutral al riesgo es de la forma $$\mathrm{d}V_t = \kappa(\theta - V_t)\mathrm{d}t + \sigma \sqrt{V_t} \mathrm{d}B_t^v + J^v \mathrm{d} N_t \\ \mathrm{d}S_t = (r_t-d_t-\lambda m^j)S_t\mathrm{d}t + \sqrt{V_t} S\mathrm{d}B_t^s + (e^{J^s}-1)S_t \mathrm{d}N_t,$$

donde $\text{Corr}(B_t^v,B_t^s) = \rho$ y las distribuciones de salto son $J^v\sim \exp(\mu_v)$ y $J^s \sim \mathcal{N}(\mu_s,\sigma^2)$ . He calibrado el modelo en un conjunto de datos con opciones de compra y venta europeas sobre el SPX, y ahora quiero obtener una expresión de forma cerrada del valor esperado de la varianza realizada anualizada, es decir $\mathbb{E}[1/T \int_0^Tv_t \mathrm{d}t]$ .

Mi primer pensamiento fue simplemente que es igual al valor calibrado de $V_0$ pero esto se basa en una suposición de martingala de la integral que no estoy seguro de que sea correcta. ¿Cómo puedo calcular la expectativa si no es una martingala? Si efectivamente es una martingala, ¿cómo lo demostraría?

Answer 1

Prueba con $$\mathbb{E}\frac{1}{T} \int_0^T V_t dt = \frac{1}{T} \int_0^T \mathbb{E} V_t dt$$ y utilizar $$\frac{1}{dt}\mathbb{E} V_t = \kappa\theta - \kappa \mathbb{E}V_t + (\lambda_0 + \lambda_1\mathbb{E} V_t)\mu_V, $$ que es, de hecho, una EDO simple.

Answer 2

Sugerencia

Por aplicación del lema de Ito, tenemos $$d(e^{kt}v_t)=\kappa e^{\kappa t}v_t\,dt+e^{\kappa t}dv_t+d(e^{\kappa t})dv_t$$ por lo tanto $$v_t=v_0e^{-\kappa t}+\theta(1-e^{-\kappa t})+\sigma\int_{0}^{t}\sqrt{v_s}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v}+\int_{0}^{t}e^{-\kappa(t-s)}J^v\,dN_{s}$$ $J_v$ es el tamaño del salto aleatorio que se produce en el momento $t_i$ y $N_t=N_t-N_0$ es el número total de saltos en el intervalo de tiempo $(0,t]$ Por lo tanto $$v_t=v_0e^{-\kappa t}+\theta(1-e^{-\kappa t})+\sigma\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v}+\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{-\kappa(t-t_i)}J_{i}^{v}$$ $$\int_{0}^{T}v_tdt=\frac{v_0}{\kappa}\left(1-e^{-\kappa T}\right)+\frac{\theta}{\kappa}\left(-1+\kappa T+e^{-\kappa T}\right)+\frac{1}{\kappa}\left(1-e^{-\kappa T}\right)\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\\ \qquad\,\,\,+\sigma\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v} dt$$ y $$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v_tdt=\frac{v_0}{\kappa T}\left(1-e^{-\kappa T}\right)+\frac{\theta}{\kappa T}\left(-1+\kappa T+e^{-\kappa T}\right)+\frac{1}{\kappa T}\left(1-e^{-\kappa T}\right)\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\\ \qquad\,\,\,+\frac{\sigma}{T}\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}\sqrt{v_t}e^{-\kappa(t-s)}dB_{s}^{v} dt $$ Ahora debe calcular $$\mathbb{E}\left[\sum\limits_{i=1}^{N_t}e^{\kappa t_i}J_{i}^{v}\right]$$