Me gustaría encontrar la función de densidad de probabilidad (en la estacionariedad) de la variable aleatoria $X_t$, donde: \begin{ecuación*} dX_t = -aX_t dt + d N_t, \end{ecuación*} $a$ es una constante y $N_t$ es un compuesto proceso de Poisson con Poisson salto de distribución de tamaño.
En otras palabras, $X_t$ resuelve la ecuación diferencial ordinaria $\frac{d X_t}{dt} + un X_t=0$, pero a veces $t_i$ decir, donde el $t_i$ son exponencialmente distribuida con una media de $1/k$, $X_t$ aumenta por un entero dibujado desde $M\sim Pdi(m)$ (es decir, $X_t$ recibe una distribución de Poisson distribuida "patada" hacia arriba exponencialmente distribuidos a intervalos).
Hay una manera de obtener el pdf de esta variable aleatoria $X$? Si he entendido las cosas correctamente, el de Kramers-Moyal ecuación para el pdf de $X$ es de orden infinito, porque es un salto de Markov del proceso. También he intentado buscar en la Ecuación Maestra, pero me pierdo. Sin embargo, soy nuevo en esto de la literatura y se preguntaba si la solución es fácil para los que saben, ya que es un sistema simple.
Muchas gracias por tu ayuda!
Addendum:
En el siguiente artículo, una expresión de la transformada de Fourier de la función de densidad de probabilidad es general saltar de la distribución de tamaño (ver Sección 5.2):
Generalizada de la ecuación de Fokker-Planck: la Derivación y las soluciones exactas
o en el ArXiv: http://arxiv.org/pdf/0808.0274.pdf
Para el caso que yo estoy interesado en (Poisson saltar de la distribución de tamaño), no creo que la transformada de Fourier puede ser invertida analíticamente. Sin embargo, el papel que se le da a la solución exacta para exponencialmente distribuida saltar tamaños como un ejemplo.
Gracias a los que han contestado o ha comentado hasta el momento. Es realmente muy útil para mí, saber que no hay una forma sencilla de obtener el pdf (en todo caso). Sin embargo, si alguien por ahí sabe de una manera estaría interesado en escuchar acerca de él.
