Modelo GARCH, la expectativa de volatilidad?

Question

Considere la posibilidad de una serie de tiempo $\{r_t\}$ con un criterio GARCH(1,1) para el modelo, es decir, $$ r_t = \sigma_t \epsilon_t,$$ donde $\epsilon_t \sim N(0,1)$ y se me.yo.d, y $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2, $$ donde $\omega \alpha_1, \beta_1$ son constantes.

Mi pregunta es: ¿se puede derivar analíticamente la expectativa de que la variable aleatoria $\sigma_t$ para un determinado $t$, es decir, $\mathbb{E}(\sigma_t)$?

Es fácil derivar $\mathbb{E}(\sigma_t^2) = \frac{\omega}{1-\alpha_1 - \beta_1}$, suponiendo que $\mathbb{E}(\sigma_t^2)$ es constante en el tiempo, pero no he podido encontrar ningún resultado en $\mathbb{E}(\sigma_t)$?

Answer 1

Se puede ver con bastante rapidez que una respuesta exacta a esta pregunta no va a ser factible debido a su transformación funcional es tomar la raíz cuadrada de $\sigma_t^2$, y la función de raíz cuadrada tiene un countably número infinito de derivados. Esto implica que una expansión de Taylor va a dejarnos con un countably número infinito de términos, la mayoría de los cuales no se desvanecen.

Así es toda la esperanza perdida? No. Curiosamente, para una elección adecuada de la constante para expandir su alrededor, el primer fin de plazo en la expansión de Taylor en gotas, y el segundo término es conocido, por lo que podemos obtener una aproximación bastante buena.

En concreto, definir $c_0 = \mathbb{E} \sigma_t^2$, que, como usted señala en la pregunta, es una cantidad conocida. Tenga en cuenta también que $\mathbb{V} \sigma_t^2$ es una cantidad conocida (que es una medida bastante complicado función de los parámetros del modelo GARCH - no recuerdo la referencia, en la parte superior de mi cabeza, pero usted debería ser capaz de google, es bastante fácil). El uso de Taylor teorema, tenemos:

\begin{ecuación} \sigma_t = \sqrt{c_0} + \frac{1}{2} c_0^{-\frac{1}{2}}(\sigma_t^2 - c_0) - \frac{1}{8} c_0^{\frac{-3}{2}}(\sigma_t^2 - c_0)^2 + R \end{ecuación}

donde $R$ es el resto término de la expansión. Tomando las expectativas de ambos lados, se puede ver de inmediato que el primer fin de plazo va a desaparecer, ya que lo vamos a conseguir $(\mathbb{E} \sigma_t^2 - c_0)$ que, por definición, de $c_0$ será igual a cero. Además, tenga en cuenta los corchetes parte de la segunda orden término convertirá en $\mathbb{E} (\sigma_t^2 - c_0)^2$, que, de nuevo, dada nuestra elección inicial de $c_0$, simplificará a $\mathbb{V} \sigma_t^2$. Por lo tanto, suponiendo que $\mathbb{E} R$ es pequeño, tenemos:

\begin{ecuación} \mathbb{E} \sigma_t \approx \sqrt{\mathbb{E} \sigma_t^2} - \frac{1}{8} (\mathbb{E} \sigma_t^2)^{\frac{-3}{2}} (\mathbb{V} \sigma_t^2) \end{ecuación}

Como he dicho antes, $\mathbb{E} \sigma_t^2$ y $\mathbb{V} \sigma_t^2$, ambas conocidas expresiones w.r.t. para los parámetros del modelo, y por lo que el lado derecho de esta ecuación es conocida (aunque sería muy complicado si yo lo escribí con todos los parámetros de un modelo GARCH).

Qué tan bueno es el de arriba aproximación? Inicialmente tuve la tentación de sugerir que podría ser bastante buena (me quedó corto en el tiempo y me pareció una manera fácil de atar la respuesta). Sin embargo, el comentario realizado por @ZacharyBlumenfeld es buena, y ahora no estoy tan seguro.

Hay muchos factores en juego aquí, algunos prometedores, y algunos no.

1) La serie se alternan los signos, es decir, $x_1 + x_2 - x_3 + x_4 - x_5 + ...$. Esto es bueno, ya que las condiciones para una serie con la alternancia de signos para converger son mucho más débiles que para una serie con el mismo signo.

2) Los coeficientes de Taylor obtener pequeño con bastante rapidez. Que van en el factorial, es decir, $\frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}$.

3) Si $\omega > 1 - \alpha \beta$, entonces $c_0 > 1$ así $c_0^{k}$ se vuelve pequeña rápidamente como $k \rightarrow -\infty$. Esta es la buena. Sin embargo, tenga en cuenta que si $\omega < 1 - \alpha \beta$ conseguimos el efecto contrario, que sería malo. De manera que los parámetros del modelo en cuestión.

4) Tenemos momentos de $\sigma_t^2$ aumentando a medida que los términos de aumento. Este es el que mas me preocupa. Estoy bastante seguro de que he leído la hoja de papel mientras que en las leyes de los grandes números para GARCH procesos que muestra que bajo condiciones razonables, los mayores momentos de $\sigma_t^2$, puede que no existan, es decir, son infinitas. Esto sería muy malo para nuestra aproximación.

Si esta pregunta es realmente importante para usted, le recomiendo aprovechar la maravillosa cantidad de poder de cómputo que tenemos estos días y la ejecución de algunas simulaciones para diferentes valores del parámetro de entrada y viendo lo bien que la anterior aproximación realmente es. Siéntase libre de informe aquí con sus resultados!

Saludos, espero que esto ayude.

-colin

Answer 2

"condicional a la volatilidad de los modelos GARCH son no estocásticas, ya que en el tiempo $t$ la volatilidad es completamente pre-determinado (determinista) dados los valores anteriores"-https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_volatility

$\sigma_t$ es todavía una variable aleatoria en el sentido de que tiene una distribución incondicional. Sin embargo, esta distribución incondicional no es conocido en paramétrica completa el formulario (todos sabemos es que los dos primeros momentos). Como tal, el modelo GARCH no es realmente construidos para responder a los tipos de preguntas que usted esta interesado en como $E[\sigma_t]$, $\mathrm{VAR}[\sigma_t]$, etc. Usted puede aproximar estos valores utilizando el cálculo, que es lo que @ColinTBrowns hace de abajo...pero que puede ser desordenado.

Una clase de modelo más adecuada para responder a tu pregunta es la volatilidad estocástica (SV) del modelo. Por ejemplo, una simple SV modelo es algo como

$$ r_t=\varepsilon_t\sigma_t,\;\;\sigma_t=e^{h_t/2}$$ $$ h_t=\alpha_0+\alpha_1h_{t-1}+v_t $$

$$ \varepsilon_t\stackrel{iid}{\sim}N(0,1),\;\;v_t\stackrel{iid}{\sim}N(0,w^2) $$

Suponiendo que $h_t$ inmóvil, su incondicional de distribución es de $h_t \sim N \bigg(\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1},\frac{w^2}{1-\alpha_1^2} \bigg)$ entonces $\sigma_t$ es el registro de una distribución normal $$ \sigma_t \sim LN \bigg(\frac{\alpha_0}{2(1-\alpha_1)},\frac{w^2}{4(1-\alpha_1^2)} \bigg) $$ Así $$ E[\sigma_t]=exp\bigg(\frac{\alpha_0}{2(1-\alpha_1)}-\frac{w^2}{2(1-\alpha_1^2)} \bigg) $$ Ver la Wikipedia pg para la log-normal de distribución si el último paso es difícil de seguir (es decir, se trata de la fórmula de la media para una log-normal)

Larga historia corta, si usted está interesado en las propiedades estadísticas de la base de la volatilidad de los estados, es mejor utilizar un modelo que trata a los estados como las variables estocásticas. También hay un montón más de SV modelos para elegir, además de la que se utiliza en este ejemplo.