El teorema de Girsanov parece tener muchas formas diferentes. Tengo un problema para hacer coincidir la forma en wiki con la del libro de Shreve, debido a la dificultad en el cálculo de la variación cuadrática.
A continuación se muestra el Teorema de Girsanov de wiki:
Sea $\{W_t\}$ un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad de Wiener $\{\Omega, \mathcal{F}, P\}$. Sea $X_t$ un proceso medible adaptado a la filtración natural del proceso de Wiener $\{\mathcal{F}^W_t\}$.
Dado un proceso adaptado $X_t$ con $X_0 = 0$, define $Z_t=\mathcal{E}(X)_t,\,$ donde $\mathcal{E}(X)$ es el exponencial estocástico (o exponencial de Doléans) de X con respecto a W, es decir, $\mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right )$, donde $[X]_t$ es una variación cuadrática para $X_t$. Por lo tanto, $Z_t$ es una martingala local estrictamente positiva, y se puede definir una medida de probabilidad $Q$ en $\{\Omega, \mathcal{F}\}$ tal que tenemos la derivada de Radon–Nikodym $\frac{d Q}{d P} |_{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X)_t$. Luego, para cada $t$, la medida $Q$ restringida a las sigma-álgebras no aumentadas $\mathcal{F}^W_t$ es equivalente a $P$ restringida a $\mathcal{F}^W_t.\,$
Además, si $Y$ es una martingala local bajo $P$, entonces el proceso $\tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t$ es una martingala local en $Q$ en el espacio de probabilidad filtrado $\{\Omega,F,Q,\{F^W_t\}\}$.
A continuación se presenta el Teorema de Girsanov del libro de Shreve "Cálculo estocástico para finanzas II"
Teorema 5.2.3 (Girsanov, una dimensión). Sea $W(t)$, $0 \leq t \leq T$, una trayectoria de Browniano en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$, y sea $\mathscr F(t)$, $0 \leq t \leq T$, una filtración para este movimiento Browniano. Sea $\Theta(t)$, $0 \leq t \leq T$, un proceso adaptado. Define $$Z(t) = \text{exp} \left\{ -\int_0^t \Theta(u)dW(u) - \frac{1}{2} \int_0^t \Theta^2(u) du \right \}, \tag{5.2.11}$$ $$\widetilde W(t) = W(t) + \int_0^t \Theta(u) du, \tag{5.2.12}$$ y asume que $$\mathbb E \int_0^T \Theta^2(u) Z^2(u) du < \infty \tag{5.2.13}$$
Coloca $Z = Z(T)$. Entonces $\mathbb E Z = 1$ y bajo la medida de probabilidad $\widetilde P$ dada por (5.2.1), el proceso $\widetilde W(t)$, $0 \leq t \leq T$, es un movimiento Browniano.
Parece que el teorema de Girsanov de wiki es más general que el del libro de Shreve.
Ahora mi pregunta es: ¿Cómo derivar el último a partir del primero?
Parece que solo necesito tomar $Y(t) = W(t)$ y $X(t) = \int_0^t \Theta(u) du$ en la definición de wiki. Esto deja por probar
$$[W(t), \int_0^t \Theta(u) du]_t = - \int_0^t \Theta(u) du$$
, ¿pero cómo calcular la variación cuadrática?
La definición de variación cuadrática es $$[X,Y](T) := \lim_{\|\Pi\|\to 0} \sum_{j=0}^{n-1} \left[ X(t_{j+1}) - X(t_j) \right] \left[ Y(t_{j+1}) - Y(t_j) \right]$$ , donde $\Pi := \{ t_0, t_1, \cdots, t_n \}$ . Pero estoy un poco atascado aquí.
¿Podrías por favor darme alguna pista sobre cómo proceder?
