Ejemplos de medidas de riesgo espectral

Question

Tomemos el definición habitual de una medida de riesgo espectral.

Si observamos la integral vemos que las medidas de riesgo espectral tienen la propiedad de que la medida de riesgo de una variable aleatoria $X$ puede representarse mediante una combinación de los cuantiles de $X$ .

Como la función cuantílica es bastante amigable se obtiene que toda medida de riesgo espectral es también una medida de riesgo coherente.

Algunos ejemplos son el valor esperado y el déficit esperado (CVaR). En esos casos, la representación espectral ofrece una forma muy conveniente de aproximar la medida simplemente ponderando los cuantiles de nuestro conjunto de datos. Esto da lugar a las siguientes preguntas:

¿Existen otras medidas conocidas que tengan una representación espectral? Si relajamos los supuestos del espectro $\phi$ ¿podemos obtener (secuencias aproximadas de) otras medidas de riesgo (posiblemente no coherentes)?

EDITAR: En reacción al comentario de @Joshua Ulrich quiero aportar un ejemplo de lo que quiero conseguir y algunos detalles más.

• Ejemplo: El valor condicional en riesgo. Tenemos la siguiente fórmula: $\text{CVaR}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha}F^{-1}_X(p)dp$ . De la muestra $X_i$ , $i=1,\ldots,N$ podemos calcular el CVaR tomando las estadísticas de orden que se encuentran en el $\alpha$ -cola de la muestra, media, y dividir por $\alpha$ . Podemos ver que esta medida tiene una representación espectral con $\phi(p) = \frac{1}{\alpha}$ para $p \in [0,\alpha]$ y $\phi(p) = 0$ para $p \in (\alpha, 1]$ . Así que es fácil de comprobar: El CVaR es una medida espectral.

Evidentemente, el procedimiento "estadística de orden + media ponderada" no sólo funciona para el CVaR, sino para todas las medidas espectrales: A partir de la definición de medida espectral vemos que, tras discretizar la integral, tenemos una aproximación de la medida que es una combinación lineal de cuantiles muy fácil de calcular.

De hecho, es tan fácil que me gustaría calcular el mayor número posible de medidas de riesgo de esta manera (muy fácil si haces monte carlo o escenarios, por ejemplo). Para el cálculo solamente, no necesito todas las suposiciones sobre $\phi$ así que olvidémonos de ellos por un momento y veamos qué más podemos calcular de esta manera.

Answer 1

Como sé, creo que la medida de riesgo espectral es un nuevo tipo de medida desarrollada a partir del CVaR (valor medio ponderado del VaR) y en el marco de las medidas de riesgo coherentes.

Si se puede demostrar que una medida de riesgo es coherente, entonces se puede añadir cualquier tipo de función ponderada $\phi$ para que sea una medida de riesgo espectral. La idea subyacente es que la suma de cualquier número de medidas coherentes es también una medida de riesgo coherente.

Answer 2

Creo que la Teoría de la Perspectiva (tal y como la definen Kahneman, Amos y Tversky) utiliza implícitamente medidas de riesgo espectral. Aunque no he podido encontrar ninguna bibliografía que vincule ambas cosas, creo que hay una clara relación entre las intuiciones relativas a la aversión a las pérdidas. La diferencia clave es que las medidas de riesgo espectral son normativas; suponemos que la función de utilidad es conocida. La Teoría de las Perspectivas, en cambio, es inherentemente descriptiva (es decir, refleja comportamientos observados). Además, soy consciente de que las medidas de riesgo espectral se extienden al riesgo de cartera, mientras que las medidas de la Teoría de la Perspectiva se ocupan de la utilidad genérica.

_ fuente: Wikipedia. Teoría de las perspectivas_

De nuevo, aunque no he visto ninguna literatura sobre el tema, sería interesante que alguien demostrara que las medidas de riesgo de la Teoría de la Perspectiva (que están tipificadas en el Anexo A) cumplen con los estándares de coherencia para una medida de riesgo espectral dado por :

${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$ se satisface:

• Homogeneidad positiva: para cada cartera X y valor positivo ${\displaystyle \lambda >0} \lambda >0$ , ${\displaystyle \rho (\lambda > X)=\lambda \rho (X)}$ ;
• Invarianza de traducción: para cada cartera X y $\alpha \in \mathbb {R}$ , ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a}$ ;
• Monotonicidad: para todas las carteras X e Y tales que ${\displaystyle X\geq Y}$ , ${\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)}$ ;
• Subaditividad: para todas las carteras X e Y, ${\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)}$ ;
• Ley-Invarianza: para todas las carteras X e Y con funciones de distribución acumulativa ${\displaystyle F_{X}}$ y ${\displaystyle > F_{Y}}$ respectivamente, si ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}}$ entonces ${\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)}$ ;
• Aditividad comonotónica: para cada variable aleatoria comonotónica X e Y, ${\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}$ . Nótese que X e Y son comonotónicos si para cada ${\displaystyle \omega _{1},\omega > _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0}$