Determinista de la interpretación de la ecuación diferencial estocástica

Question

En Paul Wilmott en Finanzas Cuantitativas Seg, Ed. en el vol. 3 en la página. 784 y p. 809 la siguiente ecuación diferencial estocástica: $$dS=\mu\ S\ dt\ +\sigma \ S\, dX$$ es aproximado en tiempo discreto por $$\delta S=\mu\ S\ \delta t\ +\sigma \ S\ \phi \ (\delta t)^{1/2}$$ donde $\phi$ es extraída de una distribución normal estandarizada.

Este razonamiento que parece seguir de forma natural a partir de la definición de un proceso de Wiener provocado algunas reflexiones y preguntas que no puedo resolver. Pensar en la siguiente generales del proceso de difusión: $$dS=a(t,S(t))\ dt\ +b(t,S(t))\, dX$$ Ahora transformar el segundo término de una manera similar como en el anterior y colocar el componente estocástico:$$dS=a(t,S(t))\ dt\ +b(t,S(t))\ (dt)^{1/2}$$

PD: El último término es no Riemann-Stieltjes integral (que podría ser, por ejemplo, $d(t)^{1/2}$)

Mis preguntas
(1) ¿Cómo interpreta usted la última fórmula y cómo puede el (ahora determinista) la ecuación diferencial que ser resuelto analíticamente? Usted conseguirá un término adicional con una segunda derivada como en Ito lema?
(2) Es el último término de una integral fraccionaria de orden 1/2 (que es un Semi-Integral)? O se trata de un concepto completamente diferente?
(3) ¿habrá un resultado diferente en la construcción del límite como con Ito integrales (desde el extremo izquierdo) y Stratonovich integrales (promedio de la izquierda y el extremo derecho)?

Nota: Este es un cross-posting de mathoverflow donde no tengo respuesta a estas preguntas.

Answer 1

(1) analíticamente resolver una ecuación diferencial estocástica (SDE) usando el lema de Ito. La segunda ecuación de (los datos discretos) es cómo se podría modelo de una ruta de más de un paso. Para encontrar la solución, que sería el modelo de muchos de estos caminos a lo largo de muchos pasos y, a continuación, tomar la expectativa (es decir, métodos de Monte Carlo). La solución a la SDE todos los modelos de estas rutas de acceso de forma simultánea a la expectativa. Usted no puede cambiar directamente a datos discretos versión y sin resolver algunos técnica numérica como de Monte Carlo. El diferencial de la notación es realmente corto de la mano de la manera más formal para escribir el Ito proceso. Por ejemplo: $$S_t = x + \int_0^t \mu_s S_s ds + \int_0^t \sigma_s S_s dW_s \Leftrightarrow dS_t = \mu_t S_t dt + \sigma_t S_t dW_t$$

A continuación, utilice la expectativa de operador para encontrar la espera de precio de las acciones $S$ en vez de $t$ da los parámetros y original precio de las acciones de $x$. ¿Tiene usted un problema específico? Tal vez alguien aquí podría ayudarle a lo largo. El material es bastante complicado, pero notas que Steve Shreve después se construyó en una serie de libros de texto están todavía disponibles para libre. Sus libros de texto son bastante accesible si usted quisiera aprender más.

(2) concepto Diferente. Ito de cálculo es un poco diferente de la de cálculo aprendemos en la escuela preparatoria y licenciatura. El poder de $1/2$, es en su segunda ecuación, porque de la varianza, la desviación estándar de conversión. Creo que la wikipedia y Shreve enlaces de arriba son el mejor lugar para empezar.

(3) yo no estoy familiarizado con Stratonovich integrales.

Answer 2

(1) Usted puede resolver en el caso de coeficientes constantes. La respuesta será de $\infty$.

De hecho, esta ecuación no tiene solución en cualquier intervalo. La intuición es la siguiente. Para el SDE como $$ dS_t = \mu(t,S_t)dt+ \sigma(t,S_t)dw_t $$ se puede mencionar que $dw_t = \xi_t\sqrt{t}$, donde $\xi_t\sim\mathcal{N}(0,1)$ son estándar de gauss yo.yo.d. variables aleatorias.

Cuando usted hace esto "suma infinita", como por el integral, que va a ser así $$ \int\limits_0^T \sigma(t,S_t)\xi_t\sqrt{dt}. $$ Debido al hecho de que la expectativa de $\xi$ es cero y gracias a la Ley de los Grandes Números, esta integral tiene sentido. Porque el integrando es a menudo tan positivo y tan a menudo negativos en cualquier pequeño intervalo.

En el otro lado de la ecuación que rechazan el término $\xi_t$ - y ahora en algunos pequeños intervalos de tu integrando será positivo o negativo. A continuación, esta integral se separan.

También puede considerar la siguiente motivación. Cuando discretizar el tiempo y simular $$ \Delta S_t = \mu(t,S_t)\Delta t +\sigma(t,S_t)\xi_t\sqrt{\Delta t} $$ entonces para cualquier $\Delta t$ usted tendrá buen comportamiento de las trayectorias. Por otro lado tratan de simular la $$ \Delta S_t = \mu(t,S_t)\Delta t +\sigma(t,S_t)\sqrt{\Delta t} $$ y disminuir el tiempo de paso. Usted verá inmediatamente que incluso en el segmento de $[0,1]$ su trayectoria van a divergir de lo suficientemente pequeño de pasos de tiempo.

(2) sin duda, estos son diferentes nociones.

(3) - si usted habla acerca de su ecuación determinista - entonces no habrá ninguna diferencia, las integrales de estallar.

Tengo la esperanza de que era útil - de lo contrario, por favor, comentar y preguntar.