Estoy estudiando el BSM modelo y tener un vistazo a los griegos. Estaba leyendo Derivados, por Paul Wilmott, y le da la forma cerrada de soluciones sin hacer que el lector vea donde estas soluciones vienen.
Hay un buen libro que explica en detalle cómo cada griego, del Delta Rho, es derivada y calcula?
En primer lugar, mi notación. $K$ es el precio de ejercicio de $S$ es el precio de las acciones, $r$ es el compuesto continuamente tasa libre de riesgo, $T$ es el tiempo al vencimiento, $t$ es el tiempo en cuestión, $\sigma$ es la volatilidad, $\delta$ es continua agrava la tasa de dividendos.
La fórmula Black-Scholes para una call Europea es
$C = E^{-\delta (T-t)} N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2)$
$d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r - \delta + 0.5\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{(T-t)}}$ y $d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{(T-t)}$.
Algunas común de los griegos son
$\Delta$ = $\dfrac{ \partial C}{\partial S}$, $\Gamma = \dfrac{ \partial^2 C}{\partial S^2}$, $\rho = \dfrac{\partial C}{\partial r}$, $v = \dfrac{\partial C}{\parcial \sigma}$, $\theta = \dfrac{\partial C}{\partial t}$ y $\psi = \dfrac{\partial C}{\parcial \delta}$.
Tenga en cuenta que $\theta$ es a menudo equivalenty define como $- \dfrac{\partial C}{\partial T}$. Se puede derivar de los griegos tomando las derivadas parciales.
Como ejemplo, voy a derivar $\Delta = e^{-\delta (T-t)} N(d_1)$
\begin{align*} \Delta &= \dfrac{\partial C}{\S parcial} \\ &= e^{-\delta (T-t)} N(d_1) + \dfrac{\partial C}{\partial S} Se^{-\delta (T-t)} N(d_1) - \dfrac{\partial C}{\partial S} Ke^{-r(T-t)} N(d_2) \\ &= e^{-\delta (T-t)} N(d_1) \end{align*}
No es obvio que los dos últimos términos se anulan. Puedo demostrar que esta a continuación.
\begin{align} &\dfrac{\partial C}{\partial S} Se^{-\delta (T-t)} N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2) \\ &= E^{-\delta (T-t)} \dfrac{\partial}{\partial S} d_1 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} \dfrac{\partial}{\partial S} d_2 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5d_2^2} \\ &\propto \dfrac{\partial}{\partial S}d_1 \a la izquierda( Se^{-\delta (T-t)} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} e^{-0.5 d_2^2} \derecho) \\ \end{align}
Tenga en cuenta que
\begin{align*} &\ln\a la izquierda(Se^{-\delta(T-t)}e^{-0.5d_1^2}\right) - \ln\left(Ke^{-r(T-t)} e^{0.5d_2^2} \derecho) \\ &= \ln(S) - \delta(T-t) - \ln(K) + rT + 0.5d_2^2 - 0.5d_1^2 \\ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - 0.5(d_1^2 - (d_1 - \sigma\sqrt{T t})^2) \\ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - 0.5(2d_1\sigma\sqrt{T t} - \sigma^2(T-t)) \\ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - d_1 \sigma\sqrt{T t} + 0.5\sigma^2(T-t) \\ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - \left(\ln(S/K) + (r-\delta + 0.5\sigma^2)(T-t)\derecho) + 0.5\sigma^2(T-t) \end{align*}
Por lo que $\left( Se^{-\delta (T-t)} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} e^{-0.5 d_2^2} \right) = 0$ y $\Delta$ = $e^{-\delta(T-t)} N(d_1)$ como se muestra arriba.
Tenga en cuenta que $\Delta > 0$ para una call Europea. Cobertura de los griegos es un tema común en la economía financiera. Para cubrir una call Europea, venta $\Delta$ acciones de la bolsa. De esta forma se protege una cartera en contra de los pequeños cambios en el precio de las acciones.
EDICIÓN 1 Por la EEB, $V_t + 0.5V_ss(\sigma S)^2 = rV - VsS(r-\delta)$ puede ser escrito como $\theta + 0.5\Gamma(\sigma S)^2 = rV - \Delta S(r-\delta)$. La solución a los problemas de la EEB depende de la terminal de condiciones y la rentabilidad.
El siguiente artículo da una simple derivación de la BSM (a través de un simple enfoque de integración en lugar de la clásica de la PDE enfoque) y los Griegos, además de algunos intuición para cada uno de ellos:
Usted encontrar la derivación de los Griegos en el capítulo 4, llamado "estática comparativa") en la p. 12.
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