He leído que el precio de una opción es el valor esperado del pago bajo la probabilidad neutral al riesgo. ¿Por qué se toma la expectativa con respecto al riesgo neutral en lugar de la probabilidad real?
¿Por qué intuitivamente la probabilidad neutral al riesgo sería diferente de la probabilidad real?
Estás pasando por alto el punto del marco de neutralidad al riesgo.
La idea es la siguiente: asume la medida de probabilidad real llamada $\mathbb{P}$. La cuestión es que, debido a que los inversores no son neutrales al riesgo, no puedes escribir que $v_0 = E_\mathbb{P} [ e^{-rT} V_T]$.
Utilizando el Teorema Fundamental de la Valoración de Activos, sabes que si el mercado es libre de arbitraje, entonces existe una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ tal que $v_0 = E_\mathbb{Q} [ e^{-rT} V_T]$.
Entonces lo que haces es que defines la medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ de manera que se cumpla $v_0 = E_\mathbb{Q} [ e^{-rT} V_T]$.
Obviamente, no son lo mismo.
No entiendo cómo se reflejan las preferencias de riesgo en la "medida real de probabilidad", ¿podrías elaborar? Según interpreto la preferencia de riesgo, solo indica cuánto está dispuesta una persona a apostar en cierta probabilidad. Eso no debería tener nada que ver con qué probabilidades se asignan... pero tal vez me estoy perdiendo algo.
Lo siguiente es un ejercicio estándar que te ayudará a responder tu propia pregunta.
Considera una red binomial de un período para una acción con una tasa constante libre de riesgo.
Determina el costo inicial de una cartera que cubra perfectamente un reclamo contingente con un pago de $uX$ en el estado de alza y $dX$ en el estado de baja (esto se puede hacer siempre que el precio de alza y de baja sean diferentes en tu red).
Suponiendo que no existe una cartera que genere ganancias sin riesgo a la baja (asume que no hay arbitraje) y que tu economía es libre de fricciones y competitiva, demuestra que cualquier otro precio para el reclamo contingente, que no sea el costo inicial de la cartera replicante que encontraste, conduciría a la existencia de una cartera que genera ganancias sin riesgo a la baja. Tómate un momento para reflexionar sobre el hecho de que has determinado el precio de cualquier reclamo contingente sin mencionar la probabilidad. ¡Sin embargo, no olvides lo que supusiste! ¿Qué fue lo que realmente necesitaste hacer para lograr lo que acabas de hacer?
Ahora que sabes que el precio de la cartera inicial es el precio "libre de arbitraje" del reclamo contingente, encuentra el número $q$ de modo que puedas expresar el precio del reclamo contingente como el pago descontado en el estado de alza multiplicado por un número $q$ más el pago descontado en el estado de baja multiplicado por el número $1-q$. Resuelve para el número $q`. Interpreta el número $q$ como una probabilidad y calcula el valor esperado de la acción descontada con esta probabilidad. Debería ser el mismo que el precio inicial de la acción. Tómate un momento para reflexionar sobre el hecho de que has determinado el número único $q$ entre $0$ y $1$ tal que el valor esperado (usando $q$) de la acción descontada es el precio inicial y que puedes calcular el precio de cualquier reclamo contingente calculando su valor esperado (usando $q`) descontado.
Es evidente que si eliges cualquier otro número $p$ entre $0$ y $1` que no sea $q$ y calculas el valor esperado (usando $p$) del pago descontado, entonces no recuperarás el precio libre de arbitraje (recuerda que has demostrado que cualquier otro precio que no sea el que encontraste lleva a una cartera de arbitraje). Esto significa que si tuvieras una probabilidad del mundo real $p$ para tu red inicial, no es la probabilidad correcta a utilizar al calcular el precio.
Recomiendo encarecidamente estudiar Finanzas Estocásticas de Folmmer y Schied: Una Introducción en Tiempo Discreto. En mi opinión, demasiadas personas se apresuran a estudiar el marco temporal continuo antes de tener un buen dominio del marco temporal discreto.
(+1) podrías haber usado algunos espacios, pero es una explicación muy clara. Si también tienes algunas opiniones claras sobre probabilidades del mundo real, tal vez puedas ayudarme aquí: quant.stackexchange.com/questions/8274/…
La probabilidad neutral al riesgo difiere de la probabilidad real al eliminar cualquier componente de tendencia de la seguridad aparte de aquel dado por la tasa de crecimiento libre de riesgo. Si crees que el precio de la seguridad va a subir, tienes una probabilidad diferente a la probabilidad neutral al riesgo.
En términos muy sencillos, la expectativa se toma con respecto a la probabilidad neutral al riesgo porque se espera que cualquier componente de tendencia haya sido descontado por los traders y, por lo tanto, en cualquier momento, no hay razón no especulativa para asumir que la seguridad está sesgada hacia arriba o hacia abajo.
Ya se ha aceptado una respuesta, pero me gustaría compartir lo que creo que es una explicación más intuitiva.
Hay muchas probabilidades neutrales al riesgo ... probabilidad de que una acción suba durante el periodo $T-t$, probabilidad de incumplimiento durante $T-t$, etc. La intuición es la misma detrás de todas ellas.
En realidad, quieres ser compensado por asumir riesgos. Por eso los bonos corporativos son más baratos que los bonos del gobierno. En la valoración neutral al riesgo fingimos que los inversores son estúpidos y están dispuestos a asumir riesgos adicionales sin recibir una compensación adicional. La razón es que hace que las matemáticas sean más fáciles. La intuición es seguir adelante.
Consideremos la probabilidad de incumplimiento de un bono:
Imagina un bono corporativo cuya probabilidad de incumplimiento en el mundo real es del 1%. Este 1% se basa en las probabilidades históricas de incumplimiento de bonos de grado similar y se obtiene de una agencia de calificación. Si el bono incumple, obtenemos el 40% del valor nominal.
Si intentamos fijar el precio del bono utilizando solo la probabilidad de incumplimiento del mundo real dada arriba para calcular el valor esperado de este bono y luego descontarlo, obtendremos el precio incorrecto. De hecho, el precio será demasiado alto.
¿Por qué? Porque el precio del bono tiene en cuenta el riesgo que enfrenta el inversor y varios otros factores como la liquidez. Hemos ignorado estos y solo tenemos parte de la imagen.
Ingresa a la fijación de precios neutral al riesgo. En lugar de tratar de averiguar estas piezas que hemos ignorado, simplemente vamos a resolver una probabilidad de incumplimiento que establezca el PV(valor esperado) al precio actual del mercado. Esto se llama probabilidad neutral al riesgo. Bueno, la probabilidad de incumplimiento del mundo real era del 1% y utilizar solo eso para valorar el bono sobrepasó el precio real, por lo que claramente nuestra probabilidad neutral al riesgo debe ser mayor que la del mundo real.
He tomado prestado mi ejemplo de este libro. Creo que el autor da la mejor explicación que he visto https://books.google.ca/books?id=6ITOBQAAQBAJ&pg=PA229&lpg=PA229&dq=risk+neutral+credit+spread+vs+actuarial&source=bl&ots=j9o76dQD5e&sig=oN7uV33AsQ3Nf3JahmsFoj6kSe0&hl=en&sa=X&ved=0CCMQ6AEwAWoVChMIqKb7zpqEyAIVxHA-Ch2Geg-B#v=onepage&q=risk%20neutral%20credit%20spread%20vs%20actuarial&f=true.
Creo que la explicación clásica (cualquier otra medida cuesta dinero) puede que no sea la más intuitiva explicación pero también es la más clara en cierto sentido y por lo tanto realmente no requiere una explicación intuitiva.
Es decir: podrías utilizar cualquier medida que desees, medidas que tengan sentido, medidas que no lo tengan pero si la medida que eliges es una medida diferente a la neutral en riesgo usarás dinero. Por lo tanto, no lo hagas.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
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¿Por qué difieren dos medidas de probabilidad? Por la forma en que están construidas. ¿Te preguntas por qué la medida neutral al riesgo está construida de manera diferente a la medida del mundo real? ¿O por qué se construye en absoluto?
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Intenté responder, pero quizás te falta algo de mi respuesta. Por favor aclara si ese es el caso.
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Excelente pregunta.