Cómo obtener verdadera probabilidades de Black-Scholes?

Question

Cómo obtener verdadera probabilidades de Black-Scholes de precios de opciones ecuación? Supongamos que sabemos ajustada al riesgo de la tasa de descuento para el activo subyacente (el término deriva en la medida física) y la tasa libre de riesgo. La tarea es encontrar a un verdadero (no el riesgo neutro) beneficio esperado para una opción call.

Answer 1

Usted no puede deducir el mundo real, las probabilidades de que la opción de los precios.

Puede parecer extraño, pero aquí es un ejemplo sencillo que puede ayudarle a entender.

Supongamos que todo el mundo en el mercado de acuerdo en el mundo real de las probabilidades, y que no cambio por ninguna razón externa.

A continuación, supongamos que la junta de inversión de un gran fondo de pensiones decide que necesitan aumentar la cantidad de opciones que se han comprado porque ellos tienen la sensación de que les gustaría tener más protección contra un negativas se mueven (y dado que la mayoría de los fondos de pensiones son largas netas de valores de renta variable, es probable que esto significa que ellos quieren comprar fuera-de-the-money de la equidad de opciones put para protegerse de vender en el mercado de acciones).

El fondo de pensiones llegará a los concesionarios (bancos de inversión, probablemente) y comprar un montón de opciones put, dicen. Naturalmente, el precio en el mercado va a subir (simple ley de la oferta y la demanda, y el aumento de la demanda), lo que implica que el implícita vols va a subir.

En resumen: no hay cambio en el mundo real de las probabilidades, pero un gran cambio en la volatilidad implícita, que a su vez conduzcan a un cambio en la implícitas subyacentes de distribución de probabilidad.

Answer 2

Usted no puede obtener la "verdadera probabilidades" (distribución empírica) de la BS modelo. Precio de la opción se requiere inversión inicial, que es de riesgo neutral expectativa de pago. "La verdadera probabilidades" son irrelevantes en Black-Scholes. Sin embargo, se puede estimar el riesgo-neutral de distribución de probabilidad (es decir, implícita riesgo de densidad neutra) de la rentabilidad de las acciones a través de Breeden-Litzenberger fórmula.

Answer 3

El verdadero probabilidades que subyacen a la B-S ecuación son en realidad postulado. El proceso de fijación se asume que el proceso estocástico $d S_t =\mu S_t d t + \sigma S_t dW_t$, donde $W_t$ es el proceso de Wiener.

Esto significa que (por simplicidad, vamos a hablar de call Europea) $\ln S_T$ se distribuye como $N(ln(S_0)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T, \sigma^2 T)$

Me corrija si estoy equivocado, te gustaría encontrar $E_P(C) = e^{-rT} E_P[max(S_T-K,0)] $, donde P es un "físico" de la probabilidad de medir. Sólo para asegurarse, este valor no representa el justo precio de la opción.

Si mis cálculos son correctos, este valor esperado es igual a $S_0 N(d_1(\mu)) e^{(\mu-r)T} - K N(d_2(\mu))e^{-rT}$

los términos $d_1$ $d_2$ son de la B-S de la fórmula, con el ajuste para reemplazar tasa libre de riesgo $r$ no con "arriesgado" $\mu$

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Ahora, escribo algunas derivación pasos, por favor, compruebe ellos.

Vamos a reescribir la expectativa de la siguiente manera, $E_P[...]=E_P[\textbf{I}(S_T\geq K)(S_T-K)]$, donde $\textbf{I}(.)$ es el indicador de la función.

Observe que la desigualdad de $S_T\geq K$ es equivalente a $\ln S_T \geq \ln K$

Entonces, $... = E_P[S_T \textbf{I}(\ln S_T \geq \ln K)]-E_P[K \textbf{I}(\ln S_T \geq \ln K)] $

$= E_P[e^{\ln S_T} \textbf{I}(\ln S_T \geq) \ln K)]- K N(d_2(\mu))$

Para calcular el primer término, utilice el siguiente lema: si X se distribuye como $N(a,s^2)$ entonces $E(e^X\textbf{I}(l<X))=e^{s+\frac{1}{2}s^2} N (\frac{\mu+s^2-l}{s})$

Tomar $\ln S_T$ como $X$ y $l$ como $\ln K$, obtener $E_P[S_T \textbf{I}(\ln S_T \geq \ln K)]=e^{\ln S_0 + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \frac{1}{2}\sigma^2 T}N(\frac{\ln S_0 + (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma^2 T - \ln K}{\sigma\sqrt T}) = S_0 e^\mu N(d_1(\mu))$

Finalmente, descuento con la tasa libre de riesgo $r$ y obtenemos el resultado.

Answer 4

Es cierto que no se puede inferir el Mundo real de las probabilidades de la BSM fórmula directamente. También es igualmente cierto que el "valor" de la opción en el mundo real se obtiene mediante la sustitución de la tasa libre de riesgo con el rendimiento esperado de las acciones.

Otro ejemplo de esto es simplemente para mirar el mundo real de los precios de un delantero en el mercado de valores. Si el arbitraje, o la réplica, no es permitido que le sistemáticamente comprar o vender diez años hacia adelante en un mercado donde el avance es el precio de uso de la tasa libre de riesgo?

Mientras que el rendimiento esperado de la acción está por encima de la tasa libre de riesgo, lo cual es consistente con la mayoría de la clásica hipótesis financieras, usted eligió para comprar el futuro. El precio de equilibrio para el avance cuando el arbitraje no está permitido que se obtiene cuando el avance es el precio de uso de la rentabilidad esperada de las acciones como de la tasa. A continuación, tendría que ser indiferente a la compra o venta de avance.

El simple ejemplo de la fijación de precios futuros no hizo uso del mundo real de las probabilidades en los precios de avance. Las probabilidades podría estar detrás de cómo usted vino para arriba con la tasa esperada de retorno, o la deriva, de la acción si se quiere, pero todo lo que necesita saber el precio del forward es en realidad el retorno esperado.

Derivados de la gente, como yo, podría quejarse de que esta es truoblesome debido a que usted necesita para hacer una hipótesis de la deriva de las acciones para llegar a la respuesta. Bien dura suerte, que es lo que las acciones de la gente necesita para hacer cada día cuando los precios de las acciones.

Answer 5

Creo que la respuesta más sencilla es entender que Black y Scholes usos de riesgo neutral probabilidades, vis-a-vis "d1" y "d2" en el citado comúnmente derivaciones. Estos son muy similares a los "Z-score" en las estadísticas, sino que se deriva de la suposición de que una dinámica libre de riesgo de la cartera puede ser construido -- esto nos permite derivar una forma cerrada de la solución de la ecuación diferencial. Justo como la forma estándar Z-score puede ser convertida a una probabilidad, el Black y Scholes convierte d1 y d2 a un "riesgo neutral" las probabilidades a través de la función de distribución acumulativa (CDF) de la normal estándar ("es decir, Gaussiano) de la variedad.

Si usted quiere encontrar la probabilidad neta de opciones que expiran por encima o por debajo de un determinado huelga, sería mucho más fácil utilizar el Z-score de la fórmula, como en:

$A$Z = \frac{\ln(S / K) - m(T-t)}{s \sqrt{T t}}$$

$$p = \phi(Z)$$

donde $S$ es el precio de las acciones, $K$ es el arbitrario precio de ejercicio $m$ que se espera anualizado a la deriva, $s$ es la volatilidad anualizada, y $T t$ es el tiempo hasta el vencimiento en años, $p$ es la probabilidad de que el subyacente expirará en o por encima de la huelga en el tiempo $T t$ y $\phi$ es el CDF de la distribución Gaussiana.