Optimización: modelo de Factor versus activo por activo modelo

Question

En la gestión de la cartera a menudo uno tiene que resolver los problemas de la forma cuadrática $$ w^T \Sigma w + w^T c \rightarrow \min_{\omega} $$ con cartera de pesos $w \in \mathbb{R}^N$ una constante $c \in \mathbb{R}^N$ y una matriz de covarianza $\Sigma \in \mathbb{R}^{N \times N}$. Además asumimos mundo real continua y binario (por ejemplo, la cardinalidad) limitaciones.

Para la estimación de la matriz de covarianza $\Sigma$ podemos por ejemplo utilizar el ejemplo de la covarianza de los rendimientos de todos los activos - vamos a llamar a este un activo por activo modelo. Se sabe que algunos cuidados deben ser tomados de aquí, si $N$ es grande y así sucesivamente, pero este no es el punto de esta pregunta.

Por otro lado, podemos definir los factores que $(F_k)_{k=1}^K$ con $K<N$. Estos factores tienen una matriz de covarianza $\Sigma_F \in \mathbb{R}^{K \times K}$. Denotando por $r_i$ el retorno de los activos $i$ con $i = 1, \ldots, N$, podemos escribir: $$ r_i = \sum_{k=1}^K e_{i,k} F_k + \epsilon_i, $$ con el significado que la variación de la devolución es descrito por las exposiciones $e_{i,k}$ a los factores y algunos puramente riesgo idiosincrático $\epsilon_i$. En este caso la matriz de covarianza de los rendimientos está dada por $$ \hat{\Sigma} = e \Sigma_F e^T + \mathop{diag}(Var[\epsilon_1],\ldots,Var[\epsilon_N]), $$ donde $e \in \mathbb{R}^{N \times K}$ es la matriz de todas las exposiciones y la "diag" parte añade la idiosincrasia de las partes de la varianza en la diagonal principal. Tenga en cuenta que $\hat{\Sigma} \in \mathbb{R}^{N \times N}$.

Yo a veces leer que un problema con la matriz de covarianza $\hat{\Sigma}$ desde el modelo de factor es más fácil de resolver que los con $\Sigma$. ¿Es esto cierto? Si sí, entonces, ¿cómo podemos ver esto? Mi respuesta personal hasta el momento es: no. Porque ambos son $N \times N$ matrices y la estructura no ayuda en general.

Especialmente si los factores no son ortogonales - ¿qué obtenemos? Si los factores que provienen de un PCA luego podamos ganar algo, pero me pregunto, ¿cuántos PCs necesitaríamos por ejemplo, en un global de renta variable de la cartera de ...

Answer 1

Un par de puntos.

En primer lugar, En un típico modelo de factor, la idiosincrasia de la pieza (lo que usted llama $Var[\epsilon_k]$) no es insignificante, lo que resulta en un $\hat\Sigma$ que va a ser bien acondicionado. Desde un punto de vista numérico, esto es muy conveniente. Más bien acondicionado y una matriz de covarianza, la menos susceptible a la rutina de optimización es a errores de redondeo.

Segundo, se pueden introducir variables $l_1, ..., l_K$ con las limitaciones que $\sum_{i=1}^N e_{i,j} w_i = l_j$ y, a continuación, trabajar con $\Sigma_F$ directamente en la formulación de una optimización y de no utilizar un total de $N\times N$ matriz de covarianza.

En tercer lugar, desde un punto de vista de la optimización del portafolio de no nos importa si los factores son ortogonales o no. Podemos girar a ser ortogonales. Mientras $\Sigma_F$ es positiva definida, podemos utilizar la descomposición de Cholesky para escribir como $LL^T = \Sigma_F$ y, a continuación, reemplace las cargas de la matriz $e$, con una rotación de un $\tilde e =eL$ de modo que ahora los factores son ortogonales. Que es $$e\Sigma_Fe^T = eLL^Te^T = \tilde e \tilde e^T.$$