¿Por qué es el movimiento Browniano se requiere para ser simplemente casi seguramente continuo en lugar de continuo?
Por ejemplo, esto está establecido como condición 2 en este artículo en la sección 1, las Caracterizaciones del proceso de Wiener, donde dice: "La función $t \rightarrow W_t$ es casi seguro que en todas partes continuo." ¿Qué es un ejemplo de un movimiento Browniano donde hay un punto en el que el movimiento no es continuo?
Exhibiendo un contra-ejemplo es sencillo suficiente. Por ejemplo, supongamos $B_{t}(\omega)$ ser un movimiento Browniano y $\mathcal{T}(\omega)$ un tiempo de parada en $(\Omega\mathbb{P})$, con una distribución continua.
A continuación, con
$$B'_{t}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}B_{t}(\omega),&t\neq\mathcal{T}(\omega)\\B_{t}(\omega)+1,&t=\mathcal{T}(\omega),\end{array}\right.$$
$B'_{t}(\omega)$ satisface (1) y (2) a continuación, pero es discontinuo, precisamente cuando $t=T(\omega)$. Por lo tanto, $B_{t}(\omega)$ es una actuación particular de movimiento Browniano que no es continua en todas partes.
Hay un montón de otras maneras de obtener una "mala" movimiento Browniano. Otro ejemplo es $A$B'_{t}(\omega)=B_{t}(\omega)\mathbb{1}_{\{B_{t}(\omega)\;\text{irracional}\}},$$
pero esto no es tan sencillo de demostrar.
La razón por la estipulación casi seguro de continuidad tiene que ver con la manera en que se construye el movimiento Browniano, y el problema se puede prescindir por completo dependientes en su enfoque.
La presentación habitual en las finanzas de los textos es el abstracto, es decir, dado un probablemente space $(\Omega\mathbb{P})$, uno tiene un movimiento Browniano $B_{t}(\omega)$ en este espacio si
La mayoría de los textos también incluyen una sección en la que se traza una realización concreta de movimiento Browniano como el límite de la escala de paseo aleatorio. Si uno lo hace con rigor, uno ve que (3) se actualiza a por cada $\omega\en\Omega$
En efecto, si partimos de $(\Omega\mathbb{P})$ satisfacción de los de arriba y dejar que $\mathcal{P}$ denotar la colección de funciones continuas $[0,\infty)\to\mathbb{R}$ con $p(0)=0$, entonces podemos obtener a partir de (3) la inclusión mapa $$\mathcal{i}:\Omega\a\mathcal{P},$$ definida en un conjunto $\Omega'\subconjunto\Omega$ de la medida completa, y el empuje hacia adelante la medida de $\mathbb{P}$ en $\mathcal{P}$ bajo esta inclusión mapa resulta ser igual a la medida de Wiener $\mathbb{W}$ en $\mathcal{P}$, que es único.
Por el contrario, uno puede construir $(\mathcal{P},\mathbb{W})$ directamente al empezar con el conjunto $\mathcal{P}$ (donde cada elemento de este conjunto es continua a priori) y demuestra que las medidas que $\mu_{N}$ en $\mathbb{Z}^{\infty}_{2}$ derivadas de la escala adecuada caminos aleatorios $S_{t}^{N}(\omega)$ ($\omega\in\mathbb{Z}^{\infty}_{2})$ inducir una colección de las rigurosas medidas en $\mathcal{P}$ donde converge débilmente a $\mathbb{W}$: $$\mu_{N}\Longrightarrow\mathbb{W}\;\text{(débilmente)}$$
Luego uno se define $$\tilde{B}_{t}(\omega):=p(t)\in\mathcal{P}$$ y demuestra fácilmente que por debajo de $\mathbb{W}$, $\tilde{B}_{t}$ satisface (1)-(3) y que por lo tanto $$\tilde{B}_{t}(\omega)=B_{t}(\omega),$$ pero que ahora cada movimiento Browniano es continua.
La equivalencia de las implicaciones de arriba muestran la existencia de movimiento Browniano es esencialmente equivalente a la existencia de una medida de Wiener en $\mathbb{W}$ derivados de la secuencia de medidas que surge naturalmente de la escala de paseo aleatorio. Si uno comienza desde el objetivo de la obtención de esta medida, se pone en continuidad para cada movimiento Browniano $p(t)=B_{t}(\omega)$.
Otras construcciones de movimiento Browniano nos exigen estipular casi seguro de continuidad debido a tecnicismos derivadas de la teoría de la medida sobre el producto de espacios. El más rápido de la construcción de movimiento Browniano en esta dirección es mediante la aplicación del test de Kolmogorov extensión del teorema de una clase de procesos; los detalles se pueden encontrar en Durrett.
Si usted dice que en la teoría de la probabilidad de un evento que sucede casi seguramente sucede con probabilidad uno.
De La Wikipedia:
La diferencia entre un evento casi seguro y seguro es el mismo como la sutil diferencia entre algo que sucede con probabilidad 1 y pasando siempre.
Si un suceso es seguro, entonces siempre va a pasar, y no el resultado en este evento puede ocurrir posiblemente. Si un evento es casi seguro, entonces los resultados en este caso, no son teóricamente posibles; sin embargo, la la probabilidad de un desenlace ocurra es menor que cualquier fijo probabilidad positiva, y por lo tanto debe ser 0. Por lo tanto, uno no puede definitivamente decir que estos resultados nunca va a ocurrir, pero puede para la mayoría de los efectos de asumir que esto es cierto.
Intuitivamente, la idea es un poco como la de un límite en el cálculo: Simplificada dice que sólo va a llegar después de "infinitamente muchos" pasos, si se detiene después de un número finito de pasos que usted no va a llegar al límite. Mientras nos acostumbramos a esta idea en el cálculo, aunque casi seguramente es similar, es aún menos intuitivo porque además, tenemos el trato con la aleatoriedad aquí.
Otro ejemplo: Cuando usted piensa en hacer girar una suave Rueda de la Fortuna (así, sin clics y con un "infinitamente pequeño" de la mano) cada posición donde podría parada tiene probabilidad cero, lo que significa que va a parar en cualquier punto dado casi nunca o esto no va a parar en cualquier momento dado , casi con toda seguridad! Sin embargo, esto tiene que terminar en algún lugar...
Para responder a tu pregunta: Para todos los intentos y propósitos de la trayectoria de un movimiento Browniano (como se obtiene desde el límite de la escala de paseo aleatorio) es, de hecho, continua en todas partes. Creo que de casi seguramente como la manera técnica de decir que seguramente, así que no hay ningún ejemplo de un movimiento Browniano donde hay un punto en que el camino no es continua.
Creo, que la respuesta de Taylor Martin contiene la explicación, pero debe ser mucho más corto, así que voy a poner aquí por separado.
Esencialmente, el movimiento Browniano es una medida en el espacio de forma continua las funciones (trayectorias), decir en un intervalo de la recta real . ¿Cómo describir esta medida en términos probabilísticos?
Uno de los conjuntos de la probabilidad de espacio $(\Omega \mathbb{P})$ y medibles función de que el objetivo del espacio: $$F: \Omega\a\mathcal{C}[0,1]$$
de modo que la medida de un subconjunto de las trayectorias $A\subconjunto\mathcal{C}[0,1]$ es $\mathbb{P}(\omega\en\Omega | F(\omega)\en A).$ Ahora, si cambia los valores de $F$ en un subconjunto de de $\Omega$ de $\mathbb{P}$-medida cero, esto no tendría ningún efecto en la medida en la meta de espacio $\mathcal{C}[0,1].$ Por lo que $F$ es en realidad define a medida cero, y pointwise declaraciones, como la del "por cada $\omega$" simplemente no tienen sentido.
Se deberá distinguir entre las variables aleatorias y sus distribuciones. Es decir, cuando hablamos sobre el movimiento Browniano, que a menudo definen en términos de finito-dimensional de las distribuciones (que es, condicional distribución es normal con el valor actual de la media y la varianza de $1$). Mediante la prueba de Kolmogorov Extensión del Teorema (KET), existe una única distribución con tal finito-dimensional de las distribuciones. Ahora, en esta distribución, por sí misma, no nos dice si el proceso resultante es continua o no, ya que es necesario especificar en qué espacio esta distribución se construye. KET sólo garantiza que usted puede construir esta distribución en un espacio aburrido $\Bbb R^{[0,\infty)}$, aburrido por el hecho de que su $\sigma$-álgebra no contiene "continua en el tiempo" de los eventos. Sin embargo, mediante la prueba de Kolmogorov de Continuidad Teorema, esta distribución también puede ser construido en un más que interesante espacio de $\mathcal C([0,\infty))$ - y esta es la clásica construcción de movimiento Browniano.
Entonces, ¿qué hace el último hecho significa. Esto significa que un movimiento Browniano o clásica proceso de Wiener es una variable aleatoria $B:\Omega\to\mathcal C([0,\infty))$, lo que trivialmente implica que $B(\omega)\in\mathcal C([0,\infty))$ para todo $\omega$, que es cada realización de estilo clásico construido el movimiento Browniano es continua.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
