Cómo probar que los mercados son incompletos, en virtud de la Volatilidad Estocástica del modelo?

Question

Tiene alguien alguna vez formalmente demostrado que los Mercados son incompletos en virtud de la volatilidad estocástica del modelo?

Yo sé que si hay más fuentes aleatorias de activos negociados, entonces el mercado es incompleto, pero no existe una prueba de que el meta-realidad?

Si hay, por favor dame la referencia al artículo(s)?

Answer 1

Es realmente muy simple. Es sólo una cuestión de que el hecho de que podemos cambiar la medida de la volatilidad estocástica pero no cambia el hecho de que el stock es una martingala. Una vez que podemos hacer esto, tenemos las rentabilidades que tienen diferentes valores en diferentes medidas, por lo que el mercado puede no ser completa.

Para mayor claridad, sólo considerar un stock S, una cuenta de mercado monetario M y una Browniano mociones B y W. Vamos a dS = dt + v dB, dM = r dt y dv = b dt + w dW, donde nuestro filtración es generado por B y W, y, r, b y w son procesos adaptados. El uso de M como numeraire (es decir, a la división por M, para expresar todos los precios en términos de acciones de M o, equivalentemente, suponiendo que las tasas de interés son iguales a cero), entonces bajo un equivalente de martingala medida, de los bienes y admisible estrategias de martingales, por lo que ahora S es una martingala, entonces dS' = v' dB', y dv' = b' dt + w' dW'.

El punto es que podemos cambiar la medida para agregar una deriva hacia el W. Desde dS' = v' dB', esto no cambia el hecho de que S' tiene corrimiento del cero, por lo que S' sigue siendo una martingala. Pero sí cambia la distribución de v', y por lo tanto la distribución de S'.

Si el mercado estaba completa, todos los contingentes reclamaciones en S sería replicable. Su precio sería igual al valor inicial de la replicando la estrategia, y por tanto, fijos. Sin embargo, dado que la distribución de S' cambia cuando cambiamos la deriva de W, no son contingentes reclamaciones en las que se tienen diferentes valores dependiendo de la deriva añadimos a W. por lo tanto el mercado es incompleto.

Answer 2

Creo que un esbozo de la prueba tendría este aspecto

Digamos que empezar desde $$ dS_t = S_t \odot (\mu_t dt + \sigma_t dW_t) $$ donde $S$ es un vector de valores de proceso de sus $n$ los activos de riesgo de los precios, $W$ un estándar de $k$-dimensionnal el movimiento browniano bajo la histórica probabilidad, $\sigma_t$ una $n \times k$ matriz de valores de proceso y $\odot$ es el Hadamard coordenada por coordenada producto de vectores. Agregar $S^0_t = e^{\int_0^t r_u du}$ el dinero en efectivo (activo libre de riesgo).

Una prima de riesgo de proceso de $\lambda$ es una solución de $\sigma_t\lambda_t = \mu_t - r_t \mathbf 1$ (con $\mathbf 1$ el $$n-dimensional vector de $1$'s). Para cada solución se consigue un riesgo neutral probabilidad de $\mathbb{Q}^\lambda|_{\mathcal{F}_t} = \exp( - \int_0^t \lambda_s dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t |\lambda_s|^2 ds) \mathbb{P}|_{\mathcal{F}_t}$. De hecho, usted puede escribir $$ dS_t = S_t \odot ( r_t \mathbf 1 dt + \sigma_t (\underbrace{dW_t + \lambda_t dt}_{dW^\lambda_t}) ) $$
y el teorema de Girsanov le dice que $dW_t + \lambda_t dt$ es $\mathbb{Q}^\lambda$-movimiento browniano. Así $S/S^0$ es una martingala local de menos de $\mathbb{Q}^\lambda$ (para el histórico browniano de filtración).

Si $k> n$ (por ejemplo $k=2$ y $n= 1$ en el modelo de Heston) y $\sigma_t$ es de rango completo, entonces obtendrá un número infinito de las primas de riesgo de modo que usted tiene un número infinito de riesgo neutral probabilidad de medidas para que su mercado es incompleto.

Supongo que el diablo está en los detalles como en la condición de integrabilidad para $\lambda$ a definir una probabilidad de medir, pero creo que esa es la idea básica.

Answer 3

El papel de Marc Romano y Nizar Touzi, Sección 3, contiene una prueba de que un modelo de volatilidad estocástica no puede ser completa, en el sentido de que la adición de la opción completa el mercado (en el sentido de Harrison y Pliska) generado por el subyacente y libre de riesgo de los préstamos/créditos: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.407.6122&rep=rep1&type=pdf

El papel sólo se ocupa de un bivariante de difusión con la correlación de Wiener ruido.

Answer 4

Usted puede tener una mirada en Heston (1993), que da una solución de forma cerrada para las opciones de bajo de volatilidad estocástica.

http://rfs.oxfordjournals.org/content/6/2/327.short

Tenga en cuenta que un inversor exige compensación adicional por riesgo de volatilidad. Breeden del consumo sobre la base de un modelo que ofrece una forma de determinar la prima. Cuando la calibración de un modelo de volatilidad estocástica aquellos primas adicionales ya están incluidos en los precios de mercado.