Estimación de parámetros - Vasicek

Question

El modelo Vasicek para la tasa corta $r_t$ viene dada por la SDE $$ dr_t = \alpha(\beta - r_t)dt + \sigma dW_t, $$ donde $W_t$ es un movimiento browniano bajo la medida física.

Me gustaría calcular los precios de los bonos bajo este modelo, por lo que necesito estimar los tres parámetros $\alpha$ , $\beta$ y $\sigma$ . Por supuesto, $r_t$ no es observable, pero los rendimientos $R(t,T)$ que se calculan a partir de los precios reales de los bonos, por lo que deberíamos utilizar la medida de riesgo neutro. El modelo de Vasicek tras este cambio de medida es $$ dr_t = (\alpha(\beta - r_t) - \lambda\sigma)dt + \sigma d\tilde{W}_t, $$ donde $\tilde{W}_t$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral y $\lambda$ es el precio de mercado del riesgo. Sin embargo, podemos escribirlo como $$ dr_t = a(b - r_t)dt + \sigma dW_t, $$ donde $$ a = \alpha, \qquad b = \frac{\alpha\beta - \lambda\sigma}{\alpha}. $$ Por lo tanto, sólo nos quedan tres parámetros por estimar, $a,b$ y $\sigma$ mientras que el precio de mercado del riesgo $\lambda$ es simplemente implícita.

Por último, recordemos el precio del bono $P(t,T)$ puede escribirse de dos maneras $$ P(t,T) = e^{-R(t,T)(T-t)} = e^{A_t(a,b,\sigma) - B_t(a,b,\sigma) r_t(a,b,\sigma)}, $$ donde $A_t$ y $B_t$ son funciones deterministas del riesgo neutro parámetros $a$ , $b$ y $\sigma$ (¿es esto correcto?) . Por lo tanto, dado el rendimiento de los bonos $R(t,T)$ la tasa corta puede recuperarse a través de la función afín $$ r_t(a,b,\sigma) = \frac{R(t,T)(T-t) + A_t(a,b,\sigma)}{B_t(a,b,\sigma)}. $$ A continuación, podemos utilizar algún procedimiento de estimación extravagante para estimar los parámetros $a,b$ y $\sigma$ a través de los rendimientos observados.

Mi pregunta es, ¿son realmente los parámetros neutrales al riesgo los que estaríamos estimando? Es decir, ¿estaríamos estimando el $a,b,$ y $\sigma$ , o tendríamos que incluir $\lambda$ y estimar $\alpha, \beta, \sigma$ y $\lambda$ ?

Answer 1

¡**Primera respuesta, por favor, aconseja/edita si lo consideras oportuno!

Asumiendo que el enlace tiene estructura afín, cuando lambda no es 0 que es tu caso, $\frac{dB}{dt}$ equivale a algo así como $\frac{dB}{dt} = \mu + 0.5 * \gamma B^{2} -1$ (donde aquí gamma es similar a su término lambda), así que estaremos estimando para lambda también.

Answer 2

Si se estiman los parámetros a partir de una serie temporal de observaciones de un rendimiento de vencimiento variable, el problema no se identifica.

Las observaciones de las series temporales del rendimiento de los bonos (de composición continua) a intervalos fijos (diarios, mensuales, lo que sea) siguen un proceso AR(1), que tiene tres parámetros. Existen infinitas combinaciones de los cuatro parámetros $\alpha$ , $\beta$ , $b$ y $\sigma$ que te dan el mismo proceso AR(1).

Así que realmente, no se puede estimar ni el riesgo neutral ni los verdaderos parámetros, siempre y cuando todo lo que se tenga sea una serie temporal de un rendimiento de vencimiento fijo.

Answer 3

Sí, estás estimando los parámetros de riesgo neutro; y necesitas estimar también lambda

El cambio de numerario al mundo neutral al riesgo es un cambio de deriva según la adición del precio de riesgo del mercado.

Dado que convierte el término de deriva y el movimiento browniano ajustado, entonces sus parámetros están bajo el mundo de riesgo neutral.

Sin embargo, el cambio en la deriva de los tipos cortos estocásticos requiere un término de volatilidad también, que no creo que hayas incluido.

Saludos cordiales