Movimiento Browniano geométrico - Interpretación de la volatilidad (en el término de deriva)

Question

Un movimiento Browniano geométrico que satisface la EDS $dS_t = rS_t dt+\sigma S_t dW_t$ tiene la solución analítica $$S_t = S_0\exp\left\{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right\}\exp\{\sigma W_t\}$$

Recientemente en una entrevista me preguntaron lo siguiente (parafraseando):

La magnitud de la incertidumbre del movimiento de $S_t$ está representada por $\sigma$ y está claramente capturada en el término $\exp\{\sigma W_t\}$. Pero intuitivamente, ¿por qué aparece $\sigma$ nuevamente en el término $r-\frac{\sigma^2}{2}$? Es decir, ¿por qué estamos restando $\frac{\sigma^2}{2}$ de nuestro drift $r$? ¿Cuál es la interpretación?

¿Alguien sabe cómo interpretarlo?

(Originalmente hice mi pregunta en MSE https://math.stackexchange.com/questions/722368/geometric-brownian-motion-volatility-interpretation, pero se sugirió que busque ayuda adecuada aquí)

Answer 1

Intentaré responder esto de una manera un poco diferente.

La respuesta rigurosa: porque el cálculo de Ito nos dice que necesitamos el término de segundo orden. Mira $$ S_t = S_0\exp(\mu t + \sigma B_t). $$ Supongamos que $S_0$ es conocido y fijo y mira por la fórmula de Ito $$ d(S_t/S_0) = \mu dt + \sigma B_t + \frac{\sigma^2}{2} dt. $$ Luego, con algo de abuso de notación: $$ E[d(S_t/S_0)] = \mu t + \frac{\sigma^2}{2} t, $$ y obtenemos el término de convexidad. Así que de nuevo es la historia crucial del cálculo de Ito: los términos de segundo orden no desaparecen (como en el cálculo usual), simplemente se mantienen. Si quieres ver esto desde la EDE entonces debes usar la formulación de Stratonovich (ver por ejemplo aquí).

La respuesta intuitiva: Solo mira $E[\exp(\sigma W_t)]$. Puedes pensar en esto como $$ \exp(\sigma W_t) \approx \exp(Z \sqrt{t} \sigma) $$ donde $Z$ toma los valores $\pm 1$ con probabilidad $1/2$ (nota que el ruido es $\sqrt t $ mientras que un término de deriva obtendría un $t$). Luego la expectativa es $$ E[\exp(\sigma W_t)] \approx \frac12 (\exp(\sqrt{t} \sigma)+\exp(-\sqrt{t} \sigma)), $$ usando la expansión en serie de Taylor esto es $$ \frac12 ((1+ \sqrt{t} \sigma + \frac{t \sigma^2}{2} + \text{términos de orden superior}) + (1- \sqrt{t} \sigma + \frac{t \sigma^2}{2} + \text{términos de orden superior} )), $$ y verás que los términos de orden $\sqrt{t}$ se cancelan. Obtiene algo como $$ E[\exp(\sigma W_t)] \approx 1 + \frac{t \sigma^2}{2} + \text{términos de orden superior} \approx \exp(\frac{t \sigma^2}{2}). $$

Como último comentario si tienes $\exp(\sigma W_t)$ y $W_t$ es simétrico entonces los resultados positivos elevan la expectativa, $\exp(\sqrt{t} \sigma)$ está más lejos de $\exp(0)=1$ que $\exp(-\sqrt{t} \sigma)$ por ejemplo para $\sqrt{t} = 0.1$ y $\sigma=0.2$ tienes $ 1.020201$ versus $0.9801987$ - por lo tanto si sube sube más desde $1$ que si baja.

EDICIÓN:

La respuesta muy corta: porque $W_t$ es simétrico alrededor de $0$ pero $\exp(x)$ no es simétrico alrededor de $1$.

Answer 2

La convexidad de la función exponencial de la variable estocástica $W$ hace que su esperanza sea mayor que la exponenciación de la esperanza de $W$. Este es un ejemplo de la desigualdad de Jensen, $E[e^{\sigma W}]> e^{\sigma E[W]}=1$. $\sigma$ puede interpretarse como la magnitud de la convexidad de la función exponencial. Esto se puede ver expandiendo en serie de Taylor el $e^{\sigma W}$ alrededor de $W=0$ hasta el término cuadrático. La convexidad produce un drift que aumenta con respecto a $\sigma$. Sabemos que el drift debería ser $e^{rt}$. Por lo tanto, el factor delante debería reducir el drift desde la convexidad medida por $\sigma.

Answer 3

$$S_t = S_0\exp((r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t)$$

no es aún una martingala porque no es sin deriva.

Desde un punto de vista probabilístico, el "ajuste de deriva" entra en juego para que el valor esperado de $S_t$ sea $e^{rt}$ en lugar de $e^{(r+0.5\sigma^2)t}$. Para el valor esperado de una variable distribuida de forma log-normal con media $\mu$ y volatilidad $\sigma$ igual a $e^{(\mu+0.5\sigma^2)t}$ (ver el artículo de Wikipedia muy detallado). Así, al establecer $\mu= (r-0.5\sigma^2)t$ llegamos a $E[S_t]=e^{rt}$

Ahora, en la mayoría de los casos, $r$ representará la tasa libre de riesgo del mercado. Por lo tanto, en promedio, nuestra acción solo ganará esa tasa.

Puede interpretar el $-0.5\sigma^2$ como el ajuste de deriva dependiente de la volatilidad que asegura la neutralidad al riesgo del proceso. Por lo tanto, si se juzga por los rendimientos promedio, al inversor no le importará si está invertido en la cartera libre de riesgo o en la cartera de mercado.

Para retomar el comentario en MSE - el pago esperado descontado será entonces $S_0$ y el proceso descontado $e^{-rt}S_t$ será una martingala. Esto apoya aún más que el entorno de mercado creado de esta manera es justo.

Answer 4

Hay algunas buenas respuestas allá arriba que explican las diferencias técnicas entre la trayectoria Browniana y la trayectoria geométrica Browniana. Creo que puede ser útil dar un desglose del modelo binomial para obtener una sensación intuitiva.

Trayectoria Browniana

Supongamos que el activo subyacente se mueve de $x \to x+s$ con probabilidad $p$ y de $x \to x-s$ con probabilidad $1-p$. Entonces la media y la varianza son $$ \begin{eqnarray} E[x] &=& x+ (2p-1) s \\ Var(x) &=& 4 s^2 p(1-p) \end{eqnarray} $$

Trayectoria geométrica Browniana

Ahora supongamos que el activo subyacente se mueve en su lugar como $y \to y e^{s}$ con probabilidad $p$ y $y \to y e^{-s}$ con probabilidad $1-p$. Entonces obtenemos $$ \begin{eqnarray} E[y] &=& y( p e^{s} +(1-p) e^{-s}) \\ Var(y) &=& y^2 p(1-p)(e^s-e^{-s})^2 \end{eqnarray} $$

Ahora puedes convencerte (usando Martingalas o propiedades de las distribuciones lognormales) que establecer $r=0$ en la pregunta original es equivalente a exigir $E[y]=y$. Encontramos que $p=\frac{1}{1+e^s}$. Si alimentamos este $p$ en $E[x]$, encontramos que no es sin deriva. De hecho, tomando el límite pequeño de $s$ mediante la expansión de Taylor obtenemos $$ \begin{eqnarray} E[x] &=& x- \frac{1}{2}s^2 \\ Var(x) &=& 4 s^2 \end{eqnarray} $$ coincidiendo con los resultados de tiempo continuo.

Conclusión: Dado que la trayectoria geométrica Browniana corresponde a exponenciar una trayectoria Browniana, si la primera es sin deriva, la segunda no lo es.

Relación con un acertijo

Bueno, esto no es estrictamente un acertijo pero puede parecer contra intuitivo al principio. Supongamos que jugamos un juego donde tienes $X$ dólares y lanzas una moneda justa, y te pago $2X$ si sale cara y me pagas $\frac{1}{2}X$ si sale cruz. ¿Cuánto vale el juego? A pesar de que el árbol se está recombinando en el sentido de que un número igual de caras y cruces te devolverían a $X$, el proceso no es un Martingala ya que $ .5~ 2X + .5 ~\frac{1}{2} X = \frac{5}{4} X $ y por lo tanto el precio es $\frac{1}{4} X$.

Answer 5

Si estuviéramos haciendo física y dijéramos que hay un movimiento Browniano aritmético podríamos tener una tasa de deriva distinta a $\mu=r$ y tendría sentido. Supongamos, por ejemplo, que un fluido se mueve a velocidad $v$ y tenemos un movimiento aleatorio de partícula en él. Eso sería la realidad.

El punto clave de usar EDEs en finanzas es identificar lo que debería ser cierto en equilibrio. Donde las personas se equivocan en mucha interpretación es decir algo así: "si la tasa libre de riesgo es del 5% para ningún riesgo, y yo exijo un retorno del 10% para tomar un riesgo de $\sigma$, entonces mi deriva, $\mu$, debería ser del 10%..."

Dicho de otra manera, a menudo decimos que tal persona exige un retorno del 10% por un riesgo particular ($\sigma$). La naturaleza puede exigir una deriva en un fluido en movimiento, pero decir que un inversionista exige algo de una acción es un poco retorcido.

La idea principal de la solución de la EDE para fijar precios de activos es separar un proceso de precio propuesto en una deriva que está allí con certeza y un elemento aleatorio. La primera es la deriva, $\mu$, y la única deriva que es cierta es la tasa libre de riesgo, $r.

Una mejor manera de decir lo que piensa un inversionista es decir que, en equilibrio, una acción tiene un precio tal que los inversionistas han encontrado un precio en el que no hay ventas o compras que muevan el precio, y en el cual ellos (colectivamente) sienten que la acción tiene un precio en el que el retorno esperado es apropiado para el riesgo esperado.

En el fondo, esto es lo que realmente significa la medida de neutralidad al riesgo. Bajo la medida de neutralidad al riesgo, los inversionistas deben creer que hay un 50% de probabilidad de que la acción, en la realidad, entregue un retorno que compense adecuadamente el riesgo real, y un 50% de probabilidad de lo contrario. Más precisamente, son indiferentes entre poseer el bono y la acción en la fijación de precios de equilibrio teniendo en cuenta sus propias estimaciones de la distribución del pago y su apetito por el riesgo personal. En realidad, esto significa colectivamente que el retorno esperado es mayor que $r$, aunque no sabemos cuánto o cuál es el $\sigma$ esperado tampoco. Debido a la aversión al riesgo, el retorno esperado real debe estar por encima de $r, pero trabajamos en un espacio de neutralidad al riesgo.

Aún otro vector en esto es decir que, en equilibrio, un inversionista con 105 dólares llegando en un año que piensa que la acción tiene un precio justo puede pedir prestados 100 (al 5%) y comprar la acción ahora con la deuda pagada en un año, o entrar en un contrato a futuro para comprar la acción a 105 en un año. Estos tienen resultados idénticos de riesgo y retorno. Tal inversionista cree que habrá un retorno de más del 5% este año (o de lo contrario no haría el intercambio) y de hecho espera suficiente retorno para compensar el riesgo. En otras palabras, en el precio actual, él es neutral al riesgo (o quizás un mejor término es indiferente al riesgo). Ahora, si él 'exige' un retorno del 20% de la acción para sentirse de esa manera, estaría muy decepcionado si la acción solo entrega un retorno del 2% (o un retorno del 11% o lo que sea). Pero, en lo más profundo de su cerebro, él espera que la acción suba a (quizás) 120.

Observa que si está contento con el descuento que compensa el riesgo entonces es neutral al riesgo en ese punto. Entonces, por supuesto, tiene mucho sentido que la deriva sea solo la tasa libre de riesgo ya que este es el costo de financiamiento. Nuestro inversionista quiere asumir el riesgo esperado por la prima de retorno esperada, y la deriva, por así decirlo, no tiene nada que ver con el riesgo, solo con el costo de financiamiento.

Muchas personas encuentran más fácil pensar en que el bono tiene un precio objetivo futuro (libre de riesgo) de 105, y luego la acción también tiene un 'precio objetivo' de 105 pero está valorada, hoy, con un 'descuento' al bono de 80 (más o menos).

Pero, si un bono tiene una trayectoria de precio de $e^rt$, entonces una acción debe tener una trayectoria de precio, de manera neutral al riesgo, que tenga un valor futuro significativamente inferior a 105 - algo como 85 - para que, al descontar de nuevo hasta hoy usando $r$, su precio actual sea algo cercano a los 80 que debe ser. Y ahí es donde entra el $-\sigma^2/2...

Hay algunas sutilezas en torno a lo que es $E[e^{\mu X}] pero el meollo real del asunto es lo anterior. Si nos mantenemos en el espacio neutro al riesgo, lo que asume que hay una compensación esperada adecuada para el riesgo anticipado, entonces los inversionistas neutrales al riesgo - que mantener la acción a un precio actual $S_0$ - necesitan un proceso de precio (neutro al riesgo) que entregue un valor futuro de alrededor de $S_0e^{rt}$. Para obtener suficiente 'descuento' para que el precio actual esté alrededor de 80, en mi ejemplo, necesitamos restar algo de $r$ y ese algo es $-\sigma^2/2. Pruébalo en una hoja de cálculo.