Cómo calcular el Valor en Riesgo de la suma de dos dependientes lognormal variables aleatorias?

Question

Hy he publicado esta pregunta primero en mathflow.net que me sugirió esta página, que yo no era consciente de.

Pregunta

Vamos $(X_1,X_2)$ ser un multivariante aleatoria normal vector ($X_1$ y $X_2$ no necesita ser independiente). Es posible calcular $$VaR_{\alpha} e^{X_1}+e^{X_2})$$

analyticaly?

Ni siquiera es posible calcular en términos de $VaR_{\alpha} e^{X_1})$ y $VaR_{\alpha} e^{X_2})$ es decir, hay una representación (una función $g(\cdot,\cdot)$ ) de la forma $$VaR_{\alpha} e^{X_1}+e^{X_2})=g(VaR_{\alpha} e^{X_1}),VaR_{\alpha} e^{X_2})).$$

En el caso de que $X_1$ y $X_2$ son independientes podría ser aproximo en términos de la convolución que no se dan en mis ojos de cualquier impresión si es analyticaly manejable.

Answer 1

La respuesta es no, a mi conocimiento.

Te sugiero que te tomes vistazo a este hilo en MO, sobre la suma de registro normal de las variables aleatorias. Algunos de los artículos mencionados no podría ayudar.

Answer 2

Para variables aleatorias independientes de la varianza de una suma es la suma de las varianzas. Si las variables aleatorias no son independientes, entonces hay una covarianza plazo $$Var(X_1 + X_2) = VarX_1 + VarX_2 + 2*Cov(X_1, X_2)$$

Exponentiating no cambia esta relación; sólo le hace la variable aleatoria log-normal.

Tal vez usted está buscando Steins del lema? Hay más abajo de la pregunta?

Answer 3

Creo que lo más cercano a una "analítica" de respuesta (y no me refiero en términos de la precisión, pero en el sentido de que se puede resolver mediante el uso de lápiz y papel en lugar de un ordenador) sería el uso de linealización. Considerar $g(X_1,X_2)=e^{X_1}+e^{X_2}$, nos gustaría calcular $VaR_\alpha(g(X_1,X_2))$.

Linealización de $g$ da:$$g(X_1,X_2)\aprox g(\mathbf{\mu}) + \nabla g^T(\mu)(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})$$

Así pues, tenemos que $$VaR_\alpha(g(X_1,X_2)) \aprox VaR_\alpha(g(\mathbf{\mu}) + \nabla g^T(\mu)(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})) = VaR_\alpha(\nabla g^T(\mu)(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})) - g(\mathbf{\mu})$$

Donde la última igualdad se mantiene debido a la traducción de la invariancia de valor-en-riesgo. Ahora tenemos que $$\nabla g^T(\mu)(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})= e^{\mu_1}(X_1-\mu_1) + e^{\mu_2}(X_2-\mu_2) = e^{\mu_1}X_1+e^{\mu_2}X_2 -\mu_1e^{\mu_1} - \mu_2e^{\mu_2}$$

Una vez más podemos mover a cabo las constantes debido a la traducción de la invariancia de valor-en-riesgo. (Tenga en cuenta que me salte la tasa libre de riesgo).

Ahora tenemos $$VaR_\alpha(g(X_1,X_2)) \aprox VaR_\alpha(e^{\mu_1}X_1+e^{\mu_2}X_2)+e^{\mu_1} + e^{\mu_2} -\mu_1e^{\mu_1} - \mu_2e^{\mu_2}$$

Desde $X_1,X_2$ están normalmente distribuidas, de modo que su suma sea. A partir de entonces su justo sencillos cálculos.

Vale la pena destacar es que la aproximación lineal sólo funciona bien cuando la probabilidad de masa centrada en torno a la media, es decir, si las colas son la luz y la variación es pequeña. Resulta particularmente preocupante ya que en el "valor en riesgo" estamos evaluando las probabilidades de salir mucho en la cola.