Cuando el control óptimo falla (?)

Question

Para "hacer mi pregunta", primero tengo que resolver un modelo. Voy a omitir algunos pasos, pero aún así, esto hará inevitablemente este post muy largo -así que esto también es una prueba para ver si a esta comunidad le gusta este tipo de preguntas.

Antes de empezar, aclaro que esto puede parecer totalmente un modelo de crecimiento neoclásico estándar en tiempo continuo, pero no es : Se trata de un solo individuo, que no "representa" a nadie más en la economía que le rodea, una economía que no está modelada. El marco aquí es "Aplicación del Control Óptimo al problema de maximización de un individuo". Se trata del marco y el método de solución de Control Óptimo en sí.

Resolvemos el problema de maximización de la utilidad intertemporal de un pequeño empresario que posee el capital de su empresa, mientras compra servicios laborales en un mercado de trabajo perfectamente competitivo, y vende su producto (rosquillas frescas) en un mercado de bienes perfectamente competitivo. Planteamos el modelo en tiempo continuo sin incertidumbre (las condiciones socioeconómicas son estables), y con horizonte infinito (el empresario prevé muchos ejemplares futuros seguidos):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

donde $c$ es el consumo del empresario, $\ln c$ es la utilidad instantánea del consumo, $\rho>0$ es la tasa de preferencia temporal pura, $k$ es el capital de la empresa, $\delta$ es la tasa de depreciación del capital, y $f(k,\ell)$ es la función de producción de la empresa. El nivel inicial de capital está dado, $k_0$ . La propia ocupación del empresario con el negocio se subsume en el capital. La función de producción es neoclásica estándar (rendimientos constantes a escala, productos marginales positivos, segundos parciales negativos, condiciones de Inada). Las restricciones son la ley del movimiento del capital y la condición de transversalidad mediante el multiplicador del valor actual.

Configuración del hamiltoniano de valor actual

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

calculamos las condiciones de primer orden

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

y combinándolos obtenemos la ley de evolución del consumo de nuestro empresario ,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

A partir de la regla óptima de la demanda de trabajo $\ell: f_{\ell} =w$ (estática) y la implicación de rendimientos constantes a escala ( $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ ) obtenemos $f-w\ell = f_kk$ . Insertando esto en la ley del movimiento del capital obtenemos

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Ecuaciones $(1)$ y $(2)$ forman un sistema de ecuaciones diferenciales. Los valores de estado estacionario para el consumo y el capital del empresario son

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$ \Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

...que es una expresión bastante conocida.

$k^*$ se llama a veces el nivel de capital de la "regla de oro modificada". El jacobiano del sistema evaluado en los valores del estado estacionario tiene un determinante negativo para cualquier valor de los parámetros del modelo que es una condición necesaria y suficiente para que el sistema presente una estabilidad de trayectoria de silla de montar.

El máximo de la $\dot k =0$ El locus está en el punto, $\tilde k$ (a veces llamado nivel de capital "regla de oro")

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

El $\tilde k$ es importante como punto de referencia: es el nivel de capital en el que $\dot k =0$ y $c$ está en un máximo (no óptimo o estado estable ).

El $\dot c=0$ cruza el eje horizontal del diagrama de fases (que mide el capital) en el nivel de capital en estado estacionario $k^*$ .

Si $k^* > \tilde k$ que requiere $f_k^* < f_k(\tilde k)$ debido a los segundos parciales negativos, tendremos una "sobreacumulación de capital" (demasiados donuts): el empresario podría disfrutar de un mayor consumo en estado estacionario con un menor nivel de capital. Utilizando $(3)$ y $(4)$ tenemos

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

Desigualdad $(5)$ es la condición para el nivel subóptimo de capital en estado estacionario. Y la cosa es, no podemos descartarlo . Simplemente requiere que el empresario sea "suficientemente paciente", con una tasa de preferencia temporal pura suficientemente pequeña, pero aún positiva.

Aquí empieza el problema: La sobreacumulación de capital está efectivamente excluida en el modelo de agente representativo. Es posible en los modelos de generación superpuesta, pero como consecuencia no intencionada a nivel macroeconómico, uno de los primeros ejemplos de que la macroeconomía puede estar microfundamentada y aun así comportarse de forma diferente al micromundo.

Pero nuestro modelo no entra en ninguna de las dos categorías: es un modelo de equilibrio parcial de un solo agente en un entorno implícitamente heterogéneo -y el equilibrio general aquí no alterará los resultados: esta persona sólo se representa a sí misma. Así que el problema es que si $(5)$ se mantiene, entonces la solución de control óptimo será obviamente subóptima Porque aquí tenemos una sola persona, una sola voluntad, una sola mente: al ver la solución nuestro empresario dirá: "oye, este método no vale nada, si sigo sus consejos acabaré con un nivel de capital subóptimo".

Y no me satisface decir simplemente "bueno, el Control Óptimo no es adecuado para este problema, prueba otro método", porque no veo por qué deberíamos considerarlo inadecuado. Pero si es adecuado, entonces el método debería señalar que algo está mal, debería en algún momento requiere que $(5)$ hace pas para poder ofrecer una solución (si se da el caso de que $(5)$ no se sostiene, todo parece hincharse).

Uno podría preguntarse "tal vez la condición de transversalidad se viola si $(5)$ sostiene?" -pero no parece que lo haga, ya que $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ que va a una constante positiva, mientras que $e^{-\rho t}$ es cero, por lo que sólo es necesario que $\rho>0$ .

Mis preguntas:

1) ¿Puede alguien ofrecernos alguna idea al respecto?

2) Estaría agradecido si alguien resolviera esto usando Programación Dinámica e informara de los resultados.

ADDENDUM
Desde el punto de vista matemático, la diferencia crucial de este modelo es que el optimizado ley del movimiento del capital, ec. $(2)$ incluye pas toda la producción $f(k)$ como en el modelo estándar, pero sólo los rendimientos del capital $f_kk$ . Y esto ocurre porque hemos separado los derechos de propiedad sobre la producción, lo que en el marco del "problema de maximización individual de la empresa", es de esperar.

Answer 1

Creo que el problema es que el estado estacionario puede no existir, y el sistema, en cambio, muestra un crecimiento constante (dependiendo de los parámetros).

La razón es que el modelo es equivalente al problema estándar de consumo-ahorro con un tipo de interés exógeno y constante. Para verlo, consideremos primero la condición de primer orden para la elección del trabajo $f_2(k,\ell) = w$ (aquí, $f_i$ es la derivada parcial de $f$ wrt. $i$ argumento). Utilizando la definición de rendimientos constantes, el producto marginal del trabajo es $$ \frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) $$ que es una función de la relación capital-trabajo solamente. Si el salario es constante, la FOC del trabajo determina de forma única el óptimo $k/\ell$ en función del salario $w$ y otros parámetros. Dado que el producto marginal del capital $$ \frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) $$ también depende de $k/\ell$ será constante a lo largo de la trayectoria óptima. Denotemos este valor del producto marginal $r^*$ y denota el rendimiento neto de la depreciación $r = r^* - \delta$ . Las ecuaciones (1) - (2) para la dinámica del capital y el consumo son entonces $$ \begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split} $$ y la solución específica que satisface la condición de transversalidad debe ser $c_t = \rho k_t$ con $k_0$ dado, es decir, se consume una parte constante de la riqueza en cada momento. Tanto el capital como el consumo crecen a un ritmo $(r-\rho)$ por lo que no hay estado estacionario a menos que el rendimiento del capital (que aquí depende de la tasa salarial exógena $w$ ) es igual a la tasa de preferencia temporal.

Answer 2

Estoy publicando esto como una respuesta, porque continúa en la respuesta del usuario @ivansml ... que es el que identificó la captura aquí, una captura que ingenuamente han pasado por alto (aunque es un caso estrecho, mientras que la parte interesante viene después. Sin embargo, debería haber sido tratada).

En efecto, con una tasa salarial exógena y una optimización perfectamente competitiva de la demanda de trabajo, el producto marginal del capital está determinado únicamente por los parámetros del modelo y por la tasa salarial. Para el caso simple en el que suponemos que la tasa salarial es constante, el análisis de @ivansml se mantiene: el modelo se convierte en uno de crecimiento endógeno El producto marginal del capital es constante, que es lo que se necesita para el crecimiento endógeno, donde no hay estado estacionario en niveles .

Denotando $\hat c = \dot c/c$ y $\hat k = \dot k /k$ , ecuaciones $(1)$ y $(2)$ de la OP se puede escribir

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Desde $f_k$ es constante, la tasa de crecimiento del consumo es constante - cero, positiva o negativa, dependiendo de los parámetros y del salario. En cambio, si se diferencia $(2b)$ con respecto al tiempo obtenemos

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

y es obvio que para el crecimiento en estado estacionario queremos $\hat k = \hat c$ que, desde $(2b)$ sólo se obtiene si $c = \rho k$ . Es fácil comprobar que, dado que $\lambda(t) = c(t)$ La única manera de que se cumpla la condición de transversalidad es que el consumo y el capital crezcan, o se reduzcan, al mismo ritmo (o se mantengan constantes).

En los modelos de crecimiento endógeno propiamente dichos, en los que examinamos toda la economía, sólo suponga que que los parámetros del modelo sean tales que haya una tasa de crecimiento positiva, porque esto es lo que observamos en el mundo real. Pero aquí sólo tenemos un individuo. Entonces, ¿qué podemos decirle a nuestro empresario?

Si $f_k-\delta -\rho >0$ La tasa de crecimiento es positiva, y tanto su consumo como su capital deberían crecer "para siempre", manteniendo una relación constante.
Si $f_k-\delta -\rho =0$ la tasa de crecimiento es cero, y ambas variables permanecen siempre constantes.
Si $f_k-\delta -\rho <0$ La tasa de crecimiento es negativa, y deberíamos entrar en una espiral descendente de consumo y capital decreciente (manteniendo siempre la relación $c= \rho k$ ).

Esto, tiene cierta intuición, validando la idoneidad de la aplicación del Control Óptimo: dados los otros parámetros y la tasa salarial, cuanto mayor sea la "impaciencia" (mayor $\rho$ es), es más posible que el individuo experimente niveles de consumo decrecientes, ya que el futuro, y por tanto la inversión, no son muy de su agrado. Por supuesto, una espiral descendente monótona puede no sonar muy realista como solución, pero este es un modelo muy estilizado, que proporciona tendencias esencialmente generales en un lenguaje matemático necesariamente muy formal.

El parte realmente interesante se iniciará si consideramos un salario variable . Esto puede crear todo tipo de dinámicas interesantes y complicadas para nuestro pequeño empresario y sus decisiones de consumo-inversión.

Answer 3

Creo que la pregunta clave es si esta empresa es la única en la economía. Si lo es, entonces ya no es correcto que tome $w$ como se indica en $w$ se verá afectada por su propia decisión de acumulación de capital. En este caso deberá realizar las sustituciones que hizo antes de su ecuación (2) al establecer el Hamiltoniano. Por otro lado, si se trata de una de muchas empresas, de modo que la tasa salarial es exógena, entonces las sustituciones antes de la ecuación (2) no son válidas. Creo que hay que distinguir cuidadosamente entre las grandes $k$ el capital agregado en la economía, y poco $k$ el capital elegido por este decisor.