Modelos de cópula y distribución de la suma de variables aleatorias sin Monte Carlo

Question

Existe una amplia bibliografía sobre la modelización de cópulas. Utilizando cópulas puedo describir la ley conjunta de dos (y más) variables aleatorias $X$ et $Y$ es decir $F_{X,Y}(x,y)$ . Muy a menudo, en la gestión de riesgos (riesgo de crédito, riesgo operativo, seguros) la tarea consiste en modelizar una suma $$Z=X+Y$$ y hallar su distribución $$F_Z(z) = F_{X+Y}(z)$$

Conozco varios enfoques que no utilizan directamente cópulas (por ejemplo, modelos de choque comunes y modelos de Poisson compuestos mixtos), pero ¿cómo puedo combinar elegantemente un modelo de cópula y un modelo para la suma (sin Monte Carlo, por supuesto, de lo contrario sería fácil).

¿Existe algún enfoque útil basado en la transformada de Fourier? Tenía la sensación de que en el caso de las cópulas arquimedianas podría haber alguna posibilidad (viendo esta representación de mezcla como en, por ejemplo, Embrechts, Frey, McNeil). ¿Quién tiene una idea? ¿Existe algún artículo al respecto?

Answer 1

Si la densidad de $(X,Y)$ es conocida, entonces se puede obtener la densidad de la suma $X+Y$ simplemente aplicando la fórmula de transformación de Jacobi, que describe la densidad de la variable aleatoria transformada $g(X,Y)$ para $g(x,y) = (x+y, x)$ . Integración de la $x$ -se obtiene la densidad de $X+Y$ . Ver Jacod/Protter Probability Essentials cap. 12 para más detalles.

No sé si es la respuesta que espera. Quizás podría proporcionarnos una descripción más específica de su tarea de modelado.

Answer 2

En general, se trata de un problema bastante difícil y parece que pasar de la probabilidad multivariante normal a las cópulas no lo hace más fácil. En general, es necesario recurrir a métodos numéricos para la integración.

En Teoría de cópulas y sus aplicaciones: Actas del taller celebrado en Varsovia los días 25 y 26 de septiembre de 2009 Parte I, sección 5.3, "Cálculo de la distribución de la suma de riesgos".

Si desea evitar los métodos de Monte Carlo, puede recurrir a un nuevo método determinista AEP diseñado especialmente para resolver este problema. Se comparan los métodos recursivo y FFT h .

No he visto ningún trabajo que trate este problema específicamente para las cópulas arquimedianas.