Demostración formal de la fórmula de fijación de precios neutrales al riesgo

Question

Como saben, el ecuación clave de la fijación de precios neutrales al riesgo es la siguiente:

$$\exp^{-rt} S_t = E_Q[\exp^{-rT} S_T | \mathcal{F}_t]$$

Es decir, los precios con descuento son Q-martingales.

Para mí tiene mucho sentido desde el punto de vista económico, pero ¿hay alguna "prueba" de ello?

No estoy seguro de que mi pregunta tenga verdadero sentido, y una respuesta podría ser "no hay necesidad de demostrar nada, creamos la medida RN tal que esta propiedad se mantiene"...

¿Es esto suficiente para demostrar que, dentro de este modelo, la medida de riesgo neutral existe?

EDITAR :

Algunas respuestas pueden haber sido confundidas por mi anotación.

Aquí hay uno nuevo:

$$\exp^{-rt} X_t = E_Q[\exp^{-rT} X_T | \mathcal{F}_t]$$

donde $X_t$ puede ser cualquier activo financiero. Por ejemplo, una opción binaria sobre una acción subyacente $S$ .

Para fijar el precio de la opción, se empezaría con esta ecuación y se desarrollaría el lado derecho para resolver finalmente $X_t$ .

Mi pregunta clave: lo que me permite escribir la ecuación inicial suponiendo que tengo no hay información sobre la dinámica de la opción o su subyacente.

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que esta ecuación clave sólo se supone que se cumple bajo algunos supuestos adicionales. Normalmente, esos supuestos se refieren a la ausencia de arbitraje, aunque es posible debilitarlos un poco si se está dispuesto a considerar los argumentos de la cartera o la función objetivo colectivamente aceptable.

De todos modos, el argumento es el siguiente: si todo el riesgo puede ser arbitrado, entonces el precio de cualquier demanda contingente debería ser igual a su precio bajo la medida neutral de riesgo Q .

El matemáticas La prueba se puede entender más fácilmente con los argumentos de la vieja escuela, en los que se muestran las coberturas delta que eliminan los términos estocásticos de la SDE. Los argumentos más elegantes desde el punto de vista matemático que implican el teorema de Girsanov y la fórmula de Feynman-Kac son menos intuitivos.

Answer 2

Puede encontrar una prueba sencilla en el caso de tiempo discreto en http://kalx.net/ftapd.pdf . No estoy seguro de lo que estás tratando de derivar con tu cálculo de Ito, pero aquí hay una derivación rigurosa de la EDP de Black-Sholes/Merton: http://kalx.net/dsS2011/bms.pdf . La derivación de Black-Scholes '73 no es matemáticamente correcta.

El enfoque moderno no utiliza las llamadas medidas del mundo real.

Answer 3

Como no he recibido ningún comentario a mi última actualización, y como me parece bastante convincente, pongo mi solución como respuesta.

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tal vez pueda demostrar que Q existe asumiendo una distribución lognormal de $S_t$ .

Suponiendo que $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$

Por Itô, $d(e^{-rt} S_t) = -r e^{-rt} S_t dt + e^{-rt} S_t dS_t$ .

Sustituir por la definición de $dS_t$ me sale:

$d(e^{-rt} S_t) = e^{-rt} S_t [(\mu - r)dt + \sigma dW_t] = e^{-rt} S_t \sigma [\theta dt + dW_t]$ . (con $\theta=\frac{\mu-r}{\sigma}$ )

Por Girsanov, sabemos que existe una medida s.t $dW_t = dW_t^* - \theta dt$

Por lo tanto, obtenemos

$d(e^{-rt} S_t) = e^{-rt} S_t \sigma [\theta dt + dW_t] = e^{-rt} S_t \sigma dW_t^*$ lo que significa que $e^{-rt} S_t$ es un Q-martingale.

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Si crees que es incorrecto, no dudes en comentarlo, o mejor aún, en corregirlo.

Lo que me preocupa es que necesito conocer la dinámica del activo, y creo que no debería...

Answer 4

El único requisito si eres neutral al riesgo es la propiedad de la martingala en el precio de tus acciones con descuento $M_t=e^{-rt} S_t$ .

Pero si se aplica Itô $d( S_t\cdot e^{-rt} e^{rt})=d(M_t\cdot e^{rt})=r_tM_te^{rt}dt + ..dW_t=r_tS_tdt+..dW_t$

se ve que bajo la probabilidad libre de riesgo, el precio del activo debe tener $r_t$ como rendimiento y para responder a su pregunta, ¿por qué el GB es tan popular? simplemente porque $dS_t=S_t(r dt+ \sigma dW_t)$ es la SDE más sencilla que mantiene esta propiedad.

Answer 5

Lo primero que hay que preguntarse es ¿a qué precio? ¿Precio monetario o precio de la acción? Todas las respuestas, las que he leído, se refieren al precio monetario, pero ¿el precio de la renta variable está realmente libre de riesgo? ???? Uno de los mayores problemas de Black Scholes (opinión personal) es que consideran el comportamiento del precio de la renta variable como precio monetario: Resuelve esta EDO: S(t)'/dt= r*S(0), esto te dice cómo cambia el dinero en una cuenta de depósito (precio monetario). Toda la teoría financiera viene de esta simple implementación. Ahora revisa Hull, y verás que utilizan esta expresión para obtener el resultado final en el E(S(T)). Buena pregunta, y no pretendo resolverla, porque el riesgo neutral en el precio de la renta variable no existe........., es mejor entender el modelo, la limitación, etc.......