optimización de la cartera con las limitaciones del VaR (o CVaR)

Question

Me gustaría optimizar la asignación de una cartera (maximizando la exposición o el rendimiento esperado), pero con las restricciones del VaR o el CVaR. (algunas partes de mi cartera no pueden exceder un cierto VaR)

¿Cómo puedo lograrlo? ¿Hay alguna manera de convertir el problema en un problema de programación lineal? o de aproximar los resultados?

Cualquier enlace o idea es bienvenida.

Answer 1

En mi experiencia, un problema de optimización de la cartera de VaR o CVaR suele especificarse mejor como la minimización del VaR o CVaR y, a continuación, se utiliza una restricción para el rendimiento esperado. Como señala Alexey, es mucho mejor utilizar el CVaR que el VaR. La principal ventaja de una optimización del CVaR es que puede implementarse como un problema de programación lineal. Otra opción que he probado es la técnica de este documento:

http://www.math.uwaterloo.ca/~tfcolema/artículos/artículo_del_banco.pdf

Otra opción es la heurística de dos pasos en la que primero se encuentra la frontera eficiente de la media-varianza y luego se podrían calcular las estadísticas relevantes de la cartera sólo en las carteras eficientes de la media-varianza. De este modo, se podrían excluir las carteras que tengan un VaR o CVaR (o una desviación mixta del CVaR) demasiado alto para su consideración.

Sin embargo, como usted dice, le preocupa especialmente el VaR o el CVaR de ciertas partes de su cartera. Como se ha señalado anteriormente, las restricciones de VaR para diferentes grupos de activos requerirían restricciones no lineales. Sin embargo, las restricciones de CVaR para diferentes activos podrían calcularse utilizando restricciones lineales (aunque también sería posible aplicar una metodología relativamente más lenta utilizando restricciones no lineales). Para orientarse sobre cómo implementar esto como una restricción lineal, podría ser útil seguir

http://www.soa.org/library/proceedings/arch/2008/arch-2008-iss1-cox-lin.aspx

con la única diferencia de que usted querría calcular el CVaR sobre los grupos de valores pertinentes.

Answer 2

La restricción del VaR es convexa y cuadrática y puede manejarse con cualquier solucionador que soporte restricciones cuadráticas, como Guribi , cplex (de IBM) o xpress (de FICO).

El CVaR puede formularse como un programa lineal si es capaz de realizar simulaciones monte-carlo sobre los rendimientos. Brevemente, el modelo LP es

\begin{eqnarray*} c &\ge& \alpha + {1 \over (1-\beta)|J|} \sum_{j\in J} z_j \\ z_j &\ge& \sum_{i \in I} r_{ij} x_i - \alpha \hspace{0.2in} \forall j \in J \end{eqnarray*} Donde c es la cvar en $\beta$ confianza, $I$ es el conjunto de inversiones, $x_i$ es el nivel de inversión en $i$ , $J$ es el conjunto de escenarios monte-carlo, $r_{ij}$ es la pérdida inesperada de la inversión $i$ en la simulación $j$ . $\alpha$ es la pérdida de la $100 \cdot \beta$ escenario percentil, y ${1 \over (1-\beta)|J|} \sum_j z_j$ es la pérdida media inesperada (en exceso de alfa) del peor $(1-\beta)|J|$ escenarios.

Las instancias de LP resultantes son muy densas y grandes, por lo que requiere retrasar la generación de columnas y restricciones para los problemas no triviales.

Answer 3

Creo que lo que buscas es un tipo de solucionador llamado programa cónico de segundo orden ( SOCP ). Es como un solucionador de programas cuadráticos (QP), salvo que las restricciones pueden ser cuadráticas, así como la función objetivo. Existe una implementación de código abierto en python a través de la aplicación CVXOPT módulo.

Answer 4

Puede encontrar un buen ejemplo sobre la optimización del CVaR en el libro " Optimización de la cartera con R/Rmetrics " Por Diethelm Wuertz, Yohan Chalabi, William Chen, Andrew Ellis.

#load library fPortfolio
library(fPortfolio)

#use indicies LPP2005, see http://www.pictet.com/en/home/lpp_indices.html
lppData  <-  100*LPP2005.RET[,1:6]

#create portfolio specification
frontierSpec  <- portfolioSpec();

#optimization criteria - CVaR
setType(frontierSpec)  <- "CVAR"

#set optimization algorithm
setSolver(frontierSpec)  <- "solveRglpk"

#set confidence level CVaR
setAlpha(frontierSpec)  <- 0.05

#number of portfolios in efficient frontier
setNFrontierPoints(frontierSpec)  <- 25

#optimize, without shortselling
frontier <- portfolioFrontier(data = lppData, spec = frontierSpec, constraints="LongOnly");

#build efficient frontier graph
tailoredFrontierPlot(object=frontier,mText="Mean-CVaR Frontier (Long only)",risk="CVaR");
weightedReturnsPlot(frontier)

No le recomiendo que utilice la optimización del VaR por dos razones:

1. El VaR no es una medida de riesgo subbadicional, por lo que su cartera podría estar muy poco diversificada.
2. Es más desafiante computacionalmente que el CVaR optimización

Answer 5

Usted podría definir su problema de optimización como un típico problema de optimización lineal de riesgo/rendimiento(1), y luego utilizar algún rendimiento previsto como el componente de rendimiento y VaR o cVaR como el componente de riesgo. Esto no será lineal, sin embargo se puede utilizar un algoritmo evolutivo, o algún otro algoritmo de búsqueda exótica, para maximizar para el retorno dado un límite en VaR o cVar. La parte difícil es hacer una buena función de utilidad/adecuación, es decir, una función suave.

En esencia, lo que vas a hacer es generar un montón de carteras factibles al azar, asegurándote de descartar cualquiera que tenga un VaR demasiado grande. Las carteras factibles restantes se clasifican según la función de utilidad/adecuación. Se conservan algunas de las mejores una vez (supervivencia del más apto) y en base a ellas se hacen pequeñas alteraciones aleatorias en las carteras (mutaciones). A continuación, vuelva a clasificar las carteras. Vuelva a hacer esto durante varias generaciones. Al final deberías optimizar en base al VaR. Hay muchas herramientas y marcos que pueden hacer esto por ti. Yo usé Encog la última vez que hice algo así.

(1) Utility(portfolio) = PredictedReturn(portoflio) - VaR(portoflio)