La diversificación, el Reequilibrio y los Diferentes Medios

Question

He encontrado muchos financiera de los autores de hacer generalizaciones acerca de GM y de AM pero ellos están equivocados en ciertas circunstancias. Podría alguien explicar su razonamiento?

Mi hecho por qué están equivocados está basada en la desigualdad de Jensen:

$\sum^{n}_{i=1} p_{i} f(x_{i}) \geq f( \sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i})$

para cóncava funciones, verificada aquí. Ahora el caso especial es:

$\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}} \leq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$

Para cóncava hacia abajo de las funciones, el correspondiente resultado puede ser obtenido mediante la inversión de la desigualdad, más aquí.

Autor 1

El reequilibrio y la diversificación de ir de mano en mano. No hay la diversificación de beneficios sin reequilibrio, de lo contrario el total de el retorno será simplemente el promedio ponderado de promedio de largo plazo geométricas devuelve. Si no reequilibrar a tipos de activos, no se conseguirán la diversificación de beneficio. Si usted no puede reequilibrar a un tipo de activo, que no puede obtener beneficios de la diversificación.
El reequilibrio de los beneficios de aumentar a medida que la volatilidad aumenta, y disminuye en menos tiempos volátiles. El beneficio de reequilibrio después de un 10% de movimiento es más de 10 veces el beneficio después de un 1% de movimiento, y el beneficio de reequilibrio después de un 50% de movimiento es más de 5 veces el beneficio después de un 10% mueva. El mayor beneficio que viene en veces, como la de 2008-2009, cuando hay salvajes movimientos en las carteras. -- la diversificación no garantiza ganancias o proteger contra la pérdida de un descenso que afecta a numerosos tipos de activos. Fuente.

Supongamos que tenemos una cóncava hacia abajo ambiente tan

$\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}} \geq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$.

1. Ahora, siguiendo la lógica en el párrafo de la rentabilidad total es simplemente el promedio ponderado de largo plazo geométricas returs. Sabemos que desde el último resultado que es mayor que o igual a la media aritmética. Hay una diversificación de beneficio con el reequilibrio?
2. A continuación, los números arrojados en la siguiente frase en negrita son un poco extraño. ¿Por qué hay un beneficio, si le acabo de dar cuenta que no es necesariamente así que si nuestro entorno es cóncava hacia abajo (entorno de valoraciones que va abajo)?
3. Pero la última frase de la guarda de este escritor! No hay ningún error aquí.

Autor 2.

William Bernstein aquí va un paso más allá, ignorando el Jensen:

El efectivo (media geométrica) el regreso de periódicos de un reajuste de la cartera siempre supera la suma ponderada de la componente geométrica medios.

La premisa implícita detrás de esas declaraciones que, probablemente, es que el mercado en el largo plazo es creciente, muy bien hasta cierto punto. Pero con esta suposición, el problema de la asignación de activos se simplifica a la de Jensen, una incluso con esa premisa, debe tenerse en cuenta al lector (o frases están mal).

Autor 3.

Muchas obras se basan en la ambigüedad de afirmaciones tales como Ilmanen que Espera Regresar -book, página 485:

la media aritmética de una serie siempre es más alto que la media geométrica (AM > GM), excepto cuando hay volatilidad (AM = GM). Una simple expansión en series de Taylor mostrar un buen aproximado es de $GM \aprox AM - \frac{Varianza}{2}.$

...pero la frase en negrita es malo. Usted puede hacer una función cóncava valores y $AM < GM$.

Preguntas

1. ¿Cuáles son los autores significado aquí?
2. Están mal o tienen algunas premisas ocultas que me estoy perdiendo?
3. ¿Por qué están diciendo tales cuestiones acerca de AM y GM, ya que no pueden siempre ser verdad?

Answer 1

Primero de todo, ESTOY siempre es mayor que o igual a GM

$$ x_1 + x_2 + ... + x_n \geq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}~\forall x_i \geq 0 $$

Usted puede demostrar por inducción a partir de $\frac{x_1 + x_2}{2} \geq \sqrt{x_1x_2}$ o poner $f(x) = \ln(x), p_i = \frac{1}{n}$ a la desigualdad de Jensen para conseguirlo. La igualdad tiene cuando $x_1 = x_2 = ... = x_n$.

Para el autor de 1 y de 2,

Queremos diversificar (poner diferentes peso) en $n$ los diferentes activos $p_i$ (incluidas las libre de riesgo de los activos) con un peso $w_i$ (suponiendo que la venta a corto posible y pedir dinero prestado es posible, $w_i \in \mathbb{R}$).

Supone que los activos seguir $n$ geométricas movimiento browniano con deriva $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$ y la matriz de covarianza de su volatilidad plazo es de $\mathbf{C}$. Uno puede mostrar que la ponderación óptima del vector $\mathbf{w} = (w_1,w_2,...,w_n)$ debe ser

$$ \mathbf{w} = \mathbf{C}^{-1} \mathbf{\mu} $$

Uno de comprobar lo anterior para el caso unidimensional $\displaystyle w = \frac{\mu}{\sigma^2}$.

Es conocida como la volatilidad de bombeo en la literatura.

El resultado anterior es la óptima, que es la media de cualquier otro vector de ponderación será de un desempeño deficiente de la anterior (por supuesto, hemos supuesto que el activo es realmente siguientes geométrico browniano movimiento y nuestro estimado de $\mu$ y $\mathbf{C}$ es la correcta). Esta respuesta a la pregunta de autor 2.

Como el activo se mueva, el dinero invertido en activos se modificará y se aleja del peso correcto usted debe poner. Por lo tanto, usted necesita para reequilibrar su cartera para que el peso óptimo.

Ya que no podemos reequilibrio de forma continua, hay un error con un límite superior de $\displaystyle O(\frac{1}{\sqrt{n}})$, donde $n$ es el número de reequilibrio.

Asumir el costo de transacción de reequilibrio es cero, no creo que

El beneficio de reequilibrio después de un 10% de movimiento es más de 10 veces el beneficio después de un 1% de movimiento, y el beneficio de reequilibrio después de un 50% de movimiento es más de 5 veces el beneficio después de un 10% de moverse.

es correcto para los autores 1.

Para los autores de los 3,

Como he señalado AM es siempre mayor o igual a GM con la igualdad tiene cuando $x_1 = x_2 = ... = x_n$. Creo que es correcto. Cuando una variable aleatoria $X$, tenemos $\mathrm{Var}(X)$, sería implica $P(X=\mu) = 1$ por unos $\mu$, o $X$ es constante casi seguramente. En el caso finito, simplemente significa $x_1 = x_2 = ... = x_n$.

Para Taylor la expansión en series de argumento, cabe hablar acerca de la prueba del lema de Ito (Ver Informal de la derivación de la sección). La idea detrás de la prueba es para hacer un taylor expansión en $x$ y $t$.

Answer 2

Creo que la suposición aquí en la primera cita es que devuelve son estrictamente positivos o estrictamente negativo y los autores son los que se compara el efecto de la volatilidad de los geométrica devuelve a la aritmética. La cuestión de la diversificación de los beneficios que tienen poco que ver con esta diferencia en contraposición a una variable de tiempo matriz de covarianza. Los beneficios de la diversificación en tiempos volátiles asume una correlación baja y la suposición de que los activos correlaciones no tienen una fuerte correlación positiva con la volatilidad. Esta es una simplificación para la enseñanza básica de las finanzas. La segunda cita será verdadera cuando el ratio de retorno de riesgo es aproximadamente igual a través de los activos y activos que no están perfectamente correlacionados positivamente. La tercera cita es verdadera en un horizonte a largo plazo debido a que los tipos de interés reales son positivos. Esto se deduce del supuesto fundamental de que un dólar hoy vale más que un dólar mañana.