¿Qué es una martingala y cómo se compara con un paseo aleatorio en el contexto de la Hipótesis del Mercado Eficiente?
Samuelson sugirió en 1965 que los precios de las acciones siguen una martingala (véase P. Samuelson "Prueba de que los precios correctamente anticipados fluctúan aleatoriamente" ).
Supongamos que existe un valor con un pago aleatorio $X_T$ en la fecha $T$ . Sea $..., P_{t–1}, P_t, P_{t+1},...$ sea la serie temporal de precios de un valor con esta retribución. Por último, defina la variación de precios $\Delta P_{t+1}=P_{t+1} – P_{t}$ para cualquier par de fechas sucesivas $t$ y $t + 1$ . Samuelson comienza definiendo los "precios correctamente anticipados" como aquellos que son iguales al valor esperado de $X_T$ en cada fecha $t \leq T$ , basándose en la información $\Phi_t$ disponible en la fecha t (que, en particular, incluye el presente y todas las realizaciones de precios pasadas para ese valor, $...,P_{t–2}, P_{t–1}, P_t$ ). Es decir, para todos los $t \leq T$ : $$P_t = \mathbb E(X_T|\Phi_t).$$
En particular, $P_T = X_T$ . Luego demuestra que los "precios fluctúan aleatoriamente" ya que se deduce que para todo $t \leq T$ , $P_t = \mathbb E(P_{t+1}|\Phi_t)$ o bien que $\mathbb E(\Delta P_{t+1}|\Phi_t) = 0$ y $$\mathbb E(\Delta P_{t+1}\Delta P_{t+2}...\Delta P_T|\Phi_t) = \mathbb E(\Delta P_{t+1}|\Phi_t) \mathbb E(\Delta P_{t+2}|\Phi_t)...\mathbb E(\Delta P_T|\Phi_t)=0.$$ Es decir, los precios siguen una martingala y las sucesivas variaciones de precios no están correlacionadas entre sí.
Esto implica que si "los precios se anticipan adecuadamente", toda la información en la serie de precios del pasado que es útil para prever la del próximo periodo esperado precio está contenida en el precio actual. Obsérvese que ésta es una afirmación mucho más débil que decir que toda la información de la serie de precios pasada que es útil para predecir el distribución de probabilidad del precio del próximo periodo está contenida en el precio actual (que es la hipótesis del paseo aleatorio sugerida por Fama en su tesis ).
Una martingala es un proceso aleatorio $X(t)$ que tiene las siguientes propiedades:
$ E[X(T)|\mathcal{F}_t] = X(t) $
para $T > t$ et
$ E[|X(T)|] < \infty $
donde $\mathcal{F}_t$ es la filtración en el momento $t$ .
Una martingala es un paseo aleatorio, pero no todo paseo aleatorio es una martingala. Un paseo aleatorio browniano es una martingala si no tiene deriva.
Además, una martingala no tiene por qué ser un proceso de Markov.
La HME no está directamente relacionada con las martingalas.
Tal como está, la definición es incorrecta. Hay que condicionar con respecto a la información hasta el momento $t$ .
A menudo se encuentra el argumento de que un paseo aleatorio de los cambios de precios sería una prueba de la hipótesis del mercado eficiente, pero esto es (OMI) una falacia lógica: Sólo porque la HME implica paseos aleatorios en los cambios de precios, el hallazgo de paseos aleatorios no implica automáticamente que la HME sea cierta.
Una martingala puede verse como un juego justo (un juego en el que no hay estrategia de arbitraje)
Un paseo aleatorio (centrado) es una martingala (piense en ella como la Ganancia total del juego justo)
Si la EFH está en orden, entonces se puede pensar que toda la información está en el precio actual, creo que esto es más comparable a la propiedad de Markov que a la propiedad de Martingale.
Espero que esto ayude un poco
Saludos
Probablemente responderé a tu pregunta de forma sencilla antes de llegar a un término muy matemático porque puedo sospechar que aún no estás familiarizado con los términos/jerga estocástica.
Una variable podría llamarse martingala si la expectativa de la variable a $t+1$ es igual a las expectativas de la variable en $t$ (básicamente bromeamos diciendo que si no nos enteramos de nada significa que estamos recibiendo una martingala - no estamos mejor).
Así que veamos la jerga matemática, según
Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso estocástico de tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias) $X_1, X_2, X_3, \dots$ que satisface para cualquier tiempo $n$ , $$ \begin{aligned} &\mathbf{E} ( \vert X_n \vert ) < \infty \\ &\mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n) = X_n. \end{aligned} $$ Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las observaciones pasadas, es igual a la última observación. Debido a la linealidad de la expectativa, este segundo requisito es equivalente a: $$ \mathbf{E} (X_{n+1} - X_n \mid X_1,\ldots,X_n)=0 $$ o $$ \mathbf{E} (X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n)- X_n=0 $$ que establece que el promedio de "ganancias" de la observación $n$ a la observación $n+1$ son $0$ .
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
