¿Cómo estimar rápidamente un límite inferior de correlación para un gran número de valores?

Question

Me gustaría encontrar pares de acciones que muestren una baja correlación. Si la correlación entre A y B es 0,9 y la correlación entre A y C es 0,9, ¿existe una correlación mínima posible para B y C? Me gustaría ahorrar tiempo de búsqueda, así que si sé que es matemáticamente imposible que B y C tengan una correlación por debajo de algún nivel arbitrario basado en las correlaciones de A con B y A con C, obviamente no tendría que perder tiempo calculando la correlación de B y C.

¿Existe tal "ley"? Si no es así, ¿qué otros métodos existen para reducir el tiempo de búsqueda?

Answer 1

Sí, existe tal regla y no es demasiado difícil de entender. Consideremos la matriz de correlación de 3 elementos

$$\left(\begin{matrix} 1 & r & \rho \\ r & 1 & c \\ \rho & c & 1 \end{matrix}\right)$$

que debe ser semidefinido positivo . En términos más sencillos, eso significa que todos sus valores propios deben ser no negativos.

Suponiendo que $\rho$ y $r$ son valores positivos conocidos, encontramos que los valores propios de esta matriz pasan a ser negativos cuando

\begin{equation} c<\rho r-\sqrt{1-\rho ^2+\rho ^2 r^2-r^2}. \end{equation}

Por lo tanto, la parte derecha de esta expresión es el límite inferior de la correlación AC $c$ que buscas, con $\rho$ siendo la correlación AB y $r$ siendo la correlación BC.

Answer 2

El límite superior de la correlación BC sería 1 para el ejemplo dado. B=C se correlacionaría con 1. Si AB y Ac son diferentes, no lo sé de memoria.