La probabilidad de tocar

Question

Para una vainilla opción, sé que la probabilidad de que la opción expira en el dinero es simplemente la delta de la opción... pero, ¿cómo puedo calcular la probabilidad de que, sin hacer de monte carlo, de la base de tocar la huelga en algún momento o antes del vencimiento?

Answer 1

Suponga que el precio sigue un proceso lognormal. Podemos convertirlo en un problema de hallar la probabilidad de un estándar de movimiento Browniano de las partículas a partir de $0$ y golpear a $x$ antes de tiempo $t$, o su primer pasaje de $\tau_x$ menos de $t$. Esto puede ser derivada a través de la reflexión principio. Los caminos cruce de $x$ son exactamente emparejaron por el segmento post cruzar el espejo de la reflexión alrededor de $x$. Dividimos el conjunto de ruta cruce de $x$ en dos grupos. La primera

Caso 1) No a la deriva.

Por el fuerte de Markov de la propiedad, en el momento en que una ruta de toques de primera $x$, las probabilidades de que la partícula tomando en cualquiera de los dos camino espejo que refleja acerca de la línea de $x$ es el mismo, por lo tanto el total de la probabilidad de tocar $x$ es el doble de la de las partículas de llegar por encima de $x$ $$P(\tau_x<t) = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}\int_x^\infty e^{-\frac{y^2}{2}} {\rm d}y=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{\frac{x}{\sqrt t}}^\infty e^{-\frac{y^2}{2}} dy={\rm erfc}\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big).$$

Caso 2) El desplazamiento es de $vt$, donde $v$ es una constante.

La probabilidad de medida es \begin{align} dP(y) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{(x-vt)^2}{2}\Big)\frac{{\rm d}y}{\sqrt t} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(vy-\frac{1}{2}v^2t\Big)\exp\Big(-\frac{y^2}{2}\Big)\frac{{\rm d}y}{\sqrt t}. \end{align}

El conjunto de caminos cruce de $x$ se puede dividir en dos subconjuntos disjuntos, uno termina en $t$ arriba $x$ y los otros extremos a continuación. La probabilidad de $P_1$ del primer conjunto se obtiene directamente a través de la primera expresión por encima de \begin{align} P_1 &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty}\exp\Big(-\frac{(u-vt)^2}{2}\Big)\frac{{\rm d}u}{\sqrt t} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\frac{x}{\sqrt t}-v\sqrt t}^\infty e^{-\frac{y^2}{2}} dy \\ &= \frac{1}{2}{\rm erfc}\Big(\frac{1}{\sqrt 2}\Big(\frac{x}{\sqrt t}-v\sqrt t\Big)\Big). \end{align}

En el segundo set, los caminos que terminan en $[y-dy,y],\, y<x$ es un subconjunto del conjunto de todos los caminos que van desde los $0$ y final en $[y-dy,y],\, y<x$. Que el ex conjunto de uno-a-uno corresponde al conjunto de rutas a partir de $0$ terminando en $[2x-y,2x-y+dy]$. La segunda expresión para la probabilidad de medida nos indica que podemos considerar el primer exponencial como un factor o una variable aleatoria dependiente sólo en el último tiempo $t$ y la segunda una nueva medida de probabilidad. El primer factor puede también ser interpretada como una Radon-Nikodym derivados o Jacobiana entre dos medidas de probabilidad. Esta nueva medida, que hace que cualquier ruta de dos conjuntos de reflexión simétrica alrededor de $x$ tienen la misma medida al igual que en el driftless caso, lo que nos permite calcular la probabilidad de un segundo conjunto, el uso que de el primer set, cuando driftless. Por lo que la probabilidad $P_2$ de la segunda \begin{align} P_2 & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\exp\Big(vu-\frac{1}{2}v^2t\Big)\exp\Big(-\frac{(2x-u)^2}{2t}\Big)\frac{{\ rm d}u}{\sqrt t} \\ &=\frac{e^{2vx}}{\sqrt{2\pi}}\int_{\frac{x}{\sqrt{t}}+v\sqrt t}^\infty e^{-\frac{y^2}{2}} {\rm d}y \\ &= \frac{e^{2vx}}{2}{\rm erfc}\Big(\frac{1}{\sqrt 2}\Big(\frac{x}{\sqrt t}+v\sqrt t\Big)\Big). \end{align} Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula pasa $x$ o el primer paso del tiempo $\tau_x$ de $x$ menos de $t$ es la suma de los dos anteriores probabilidad $$P(\tau_x<t)=P_1+P_2.$$

Answer 2

Hay una solución sencilla si no se deriva, como la probabilidad de $p(x,t)$ obedece a una simple ecuación de difusión: $\mathrm{d}(p)/\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}(p))}{\mathrm{d}x^2}$, aquí $x$ es la diferencia de precio $\text{precio}(t) - \text{precio}(t=0)$. Por supuesto, hay una simple solución a la ecuación de difusión (utilizando la escala como un método para resolver el PDE):
$$ p(x,t) = (4\pi \frac{\sigma^2}{2} t)^{-\frac{1}{2}} \text{e}^{(-x^2/(4 \frac{\sigma^2}{2} t) )} $$ para encontrar la probabilidad de hiting una barrera de $x$ en o antes $T$ simplemente ( :} ) integrar, $$ \text{prob de golpear ($t \le T$)} = \int\limits_{t=0}^{T} p(x,t)\mathrm{d}t $$

Answer 3

Me permite estar en desacuerdo con Jaydles de la propuesta ; su metodología es válida sólo si los eventos de tocar la barrera de cada uno eran independientes.

Si está trabajando dentro de la norma de Black-Scholes marco, se busca la probabilidad de que un desvió el movimiento Browniano golpear a un nivel fijo antes de un tiempo determinado ; esta probabilidad se deriva, en la mayoría de cálculo estocástico textos, véase, por ejemplo, Karatzas-Shreve o Chesney-Jeanblanc-Yor.

Otra forma de verlo : usted está tratando de precio de un golpe en la opción digital con 0 tasa de interés, o knock-in cero de bonos. Usted puede encontrar las fórmulas para estos en Peter Carr trabajo en las opciones de la barrera.

Answer 4

Primero de todos, el delta no es la probabilidad de que la opción en el black scholes modelo, sino que está estrechamente relacionada con la N(d2) (binario probabilidad)

En segundo lugar, el black scholes modelo da de riesgo neutral probabilidades para un binario caso de que este está bien, pero no da ninguna medida correcta de, digamos, lo lejos que será a través del

En tercer lugar, las opciones que usted está interesado en son negociadas en el mercado son llamados binarios no toque o opciones de one touch ... hay varios mecanismos de precio, dependiendo de su modelo de volatilidad ... black scholes pricers de ellos están disponibles en línea, por ejemplo aquí http://www.volopta.com/Matlab.html

Answer 5

Sin duda, esto no es la manera más eficiente, pero si quieres algo rápido y sucio:

Usted podría ejecutar un modelo de vainilla que calcs delta para cada fecha de vencimiento de entre ahora y de caducidad, y agarrar el delta para cada uno. Que le daría la probabilidad de que en el dinero en el cierre en cualquier día.

A partir de eso, usted puede muy fácilmente calcular la probabilidad de que no en el dinero cada día (sólo restará el delta de uno), se multiplican todos ellos juntos, y subract el producto de uno para determinar la probabilidad de que se cierra por encima de la huelga entre ahora y fecha de caducidad.

Este no requieren la ejecución de la fórmula para calcular el delta muchas veces, y se ignora el riesgo de una intra-día tacto, pero no requiere escribir algo para calc la exótica que usted describe.