¿Cuál es la intuición detrás de la cointegración? ¿Qué hace la prueba de Dickey-Fuller para probarla? Idealmente, se agradecería una explicación no técnica.
Imagínate que necesitas explicárselo a un inversor y justificar por qué tu estrategia de trading de pares debería hacerlo rico.
La historia estándar (también contada por @vonjd) es de "La Borracha y Su Perro". Esto se basa en "Una Borracha y Su Perro: Una Ilustración de Cointegración y Corrección de Error" (1994). La historia en sí se basa en la ilustración estándar de un paseo aleatorio conocido como el "paseo del borracho".
La prueba Dickey-Fuller se utiliza para comprobar si hay una raíz unitaria. Puede ser utilizada como parte del método de dos pasos de Engle-Granger (aunque no es la única opción).
En este caso, aunque los dos activos en sí no son estacionarios, puedes probar si los residuos entre una regresión de los dos activos son estacionarios. La mayoría de la gente prefiere otro enfoque, la prueba de Johansen, que utiliza un modelo VECM.
La intuición detrás del trading de pares es que dos instrumentos cointegrados seguirán el mismo camino a largo plazo (ya que presumiblemente tienen algún factor común, como ser ambas compañías petroleras e influenciarse fuertemente por el precio del petróleo), y cualquier desviación eventualmente volverá a la media. No hace falta decir que el trading de pares (o cualquier otra forma de arbitraje estadístico) sigue siendo una empresa arriesgada, como debería quedar claro por el rendimiento de los fondos de arbitraje.
Dos series temporales $X_1$ y $X_2$ están cointegradas si una combinación lineal $aX_1+bX_2$ es estacionaria, es decir, tiene una media constante, desviación estándar y función de autocorrelación para algunos $a$ y $b$. En otras palabras, las dos series nunca se alejan mucho una de la otra. La cointegración puede proporcionar una medida más sólida de la relación entre dos cantidades financieras que la correlación, que es muy inestable en la práctica.
He tomado prestados los siguientes dos ejemplos del Libro de preguntas frecuentes en Finanzas Cuantitativas de Willmot, uno puede ser típico para un trader de un fondo de cobertura y otro ilustra el trabajo de un gestor de un fondo mutuo.
A. Supongamos que tienes dos acciones $S_1$ y $S_2$ y descubres que $S_1 − 3 S_2$ es estacionaria, de modo que esta combinación nunca se aleja demasiado de su media. Si un día este 'diferencial' es particularmente grande, entonces tendrías sólidas razones estadísticas para pensar que el diferencial podría reducirse próximamente, dándote una posible fuente de beneficio arbitrario estadístico. Esto puede ser la base para el trading de pares.
B. Supongamos que encontramos que el índice S&P500 está cointegrado con una cartera de 15 acciones. Entonces podemos usar estas quince acciones para seguir el índice. El error en esta cartera de seguimiento tendrá una media y desviación estándar constante, por lo que no debería alejarse demasiado de su promedio. Esto es claramente más fácil que usar las 500 acciones para el seguimiento (cuando, por supuesto, el error de seguimiento sería cero).
La publicación de blog algo irónica http://www.portfolioprobe.com/2010/10/18/american-tv-does-cointegration/ incluye el ejemplo de dos clases de acciones de la misma empresa.
En este caso, tienes dos activos que son esencialmente iguales pero con algunos detalles diferentes. La compra y venta de estos activos hará que los precios fluctúen entre sí. Sin embargo, es poco probable que se alejen demasiado el uno del otro porque habrá arbitrajistas que harán que los precios vuelvan a juntarse. El arbitraje es la correa en la analogía humana-canina.
Pero hay una diferencia entre la cointegración y la alta correlación. Supongo que muchas operaciones de pares basadas en "cointegración" en realidad se basan en una alta correlación. La diferencia es el riesgo: si dos activos están verdaderamente cointegrados, entonces eventualmente volverán a acercarse entre sí; dos activos que tienen una historia de alta correlación no necesariamente tienen que volver a juntarse.
Sea $u_t$ la caminata aleatoria $$ u_t = u_{t-i} + \varepsilon_t $$ donde $\mathrm{E}[\varepsilon_t]=0$ y $\mathrm{var}[\varepsilon_t]=\sigma^2$, es decir, $\varepsilon_t$ es estacionaria.
Ahora, sea $$X_t = \alpha u_t +\nu_t$$ y $$Y_t = \beta u_t + \eta_t$$ donde $\nu_t$ y $\eta_t$ son procesos estacionarios similares a $\varepsilon_t$
Entonces, tanto $X_t$ como $Y_t$ son no estacionarios porque son funciones lineales de la variable (tendencia estocástica) no estacionaria $u_t$.
Sin embargo, $$\beta X_t - \alpha Y_t = \beta \nu_t - \alpha_t \eta_t $$ es una combinación lineal de las perturbaciones estacionarias y, por lo tanto, es estacionaria. Cuando esto sucede, se dice que $X_t$ y $Y_t$ están cointegradas. Se dice que $X_t$ y $Y_t$ contienen la misma tendencia estocástica.
La idea detrás de la prueba de Dickey-Fuller es estimar una regresión que estime la relación entre $\alpha$ y $\beta$ y probar si los residuos estimados son estacionarios. Estos residuos no siguen una distribución estándar.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
