1. Determinar los factores
Desde el punto de vista económico, el uso de modelos factoriales puede estar motivado por la ICAPM o el APT . Aunque existen algunas diferencias teóricas entre el modelo, para el trabajo empírico y práctico estas diferencias son irrelevantes. Al final, ambos modelos estipulan que los rendimientos y las rentabilidades esperadas son funciones lineales de los factores: $$ r_{i,t} = \alpha_i + \sum_j \beta_{i,j} F_{j,t} + \epsilon_{i,t} \quad (1)$$ $$ \mathbb{E}[ r_{i,t}] = \lambda_o + \sum_j \beta_{i,j} \lambda_j \quad\quad\quad(2)$$ donde $F_{j,t}$ es la sorpresa del factor $j$ en el momento $t$ y $\lambda_j $ es la prima de riesgo del factor $j$ . Los factores son fundamentalmente indeterminados. Siguiendo el ICAPM, los factores deberían ser proxies del crecimiento del consumo marginal futuro (=variables de estado). Sea cual sea el factor que se utilice, debe haber una razón económica para que los rendimientos estén relacionados con el factor. Para algunos de los pasos posteriores, es diferente si los factores son rendimientos negociados o algún otro factor (como las variables macroeconómicas). Los factores basados en los rendimientos suelen derivarse como el rendimiento de una cartera concreta o la diferencia entre dos carteras. Los ejemplos más conocidos del primer grupo son los factores macro utilizados por Chen, Roll y Ross ( 1986 ) y para el último grupo los factores Fama y French ( 1992 , 1993 , 1996 , 2014 ). Facilita un poco la estimación estadística cuando los factores son retornos (explicaré este punto más adelante)
2. Recoger datos
El siguiente paso es siempre la recogida de datos, tanto de los factores como de los activos de prueba. A veces, cuando los factores son series temporales macroeconómicas (o algo similar) se elimina su componente predecible para que los factores sean sólo las sorpresas de los factores. En principio, sólo el componente inesperado debería explicar las diferencias transversales de los rendimientos. Cuando los factores se construyen como rendimientos de la cartera, una cuestión clave es la frecuencia de reequilibrio. La mayoría de los trabajos que conozco siguen el ejemplo de Fama y French y forman las carteras a mitad de año (1 de julio) y luego mantienen los componentes de la cartera igual durante un año (un contraejemplo bien conocido es el factor de impulso de Carhart ( 1997 ) que utiliza el rebalanceo mensual). Cuando los factores se construyen como la diferencia de rendimientos entre las carteras superior e inferior según alguna clasificación, se plantea la cuestión de en qué cuantiles dividir los activos. Son comunes las divisiones en la mediana, los cuantiles 30/70 o los cuantiles 10/90.
3. Estimar las regresiones
El último paso es estimar las regresiones para ver si los factores son capaces de explicar la sección transversal de los rendimientos. Hay dos enfoques principales para esto, a veces llamados regresión de series temporales y regresiones transversales (también he oído a la gente referirse al primer procedimiento como el método Fama-French y al segundo como el método Fama-MacBeth).
a) Regresión de series temporales
Cuando todos los factores son retornos, se pueden utilizar regresiones de series temporales para cada activo de prueba para estimar las pendientes de la regresión $\beta_{i,j}$ . En este caso, se estima el modelo (1). Obtendrá una beta para cada factor y activo de prueba. La razón por la que puede utilizar regresiones de series temporales en este caso es que las primas de los factores $\lambda_j$ puede estimarse simplemente como la media de la serie temporal de los rendimientos de los factores. Si se utiliza el exceso de rendimientos como variables dependientes en la regresión, el modelo de factores tiene una implicación: todos los $\alpha_i$ debería ser cero. La comprobación de esto depende un poco de sus supuestos sobre la correlación temporal y transversal en los términos de error. En cualquier caso, tendrá que recurrir a algún tipo de prueba F (ajustada por autocorrelación, heteroscedasticidad, errores generales, etc.), ya que está probando múltiples hipótesis. El libro de Cochrane ( 2001 ) los deriva en detalle utilizando un enfoque GMM (capítulos 12 y 13).
b) Regresiones transversales
Para los factores generales, tendrá que realizar regresiones transversales estimando la ecuación (2). Un problema clave aquí es que tanto el $\beta$ coeficientes y los precios del riesgo $\lambda$ no son directamente observables. Lo habitual es seguir el procedimiento establecido por Fama y MacBeth ( 1973 ): Primero se ejecutan regresiones de series temporales por separado para cada activo de prueba. Esto le dará estimaciones para cada $\beta$ para cada activo. Estas estimaciones se utilizan luego en la regresión transversal como variables independientes utilizando los rendimientos medios de cada activo como variable dependiente. Los coeficientes que se estiman en esta regresión son las primas de riesgo de los factores $\lambda$ . De nuevo, la predicción de un modelo de factores es que los errores de fijación de precios $\lambda_0$ son cero para cada activo. En el caso de las regresiones transversales, se trata de un único parámetro para el que se puede comprobar la hipótesis nula de que es cero en la población. Este procedimiento suele repetirse utilizando una ventana móvil; con datos mensuales suele haber 5 años de datos. La verdadera "carne" del método Fama-MacBeth es la teoría estadística de cómo tener en cuenta en los errores estándar de las regresiones transversales el hecho de que el $\beta$ son los coeficientes estimados de una regresión de series temporales y una correlación transversal. Una vez más, me remito a la obra de Cochrane ( 2001 ) en el capítulo 12 para conocer los detalles de las estadísticas de las pruebas.
4. Evaluar los resultados
Después de evaluar si los errores de fijación de precios son pequeños (prueba de que $\alpha_i=0$ para todo i), la siguiente cuestión es comprobar si los factores elegidos en el paso 1 son "buenos factores". Esto significa que deben mostrar una fuerte relación con los rendimientos esperados. Los enfoques transversal y de series temporales ofrecen métodos ligeramente diferentes para comprobar si un factor tiene precio. Para ambos métodos (series temporales y regresiones transversales) hay que comprobar si los factores tienen realmente precio en la sección transversal. En el caso de las regresiones de series temporales, las primas de riesgo de los factores se estiman como la media de las series temporales de los rendimientos de los factores. Se pueden utilizar pruebas estadísticas estándar para comprobar si son positivas. En el caso de las regresiones transversales, las primas de riesgo de los factores son los coeficientes de las regresiones, que también pueden someterse a pruebas. En ambos casos, hay que tener cuidado con los errores estándar utilizados (autocorrelación en el enfoque de series temporales, dependencias transversales).
Una cuestión que se plantea a menudo es qué enfoque es "mejor". En primer lugar, las regresiones de series temporales sólo pueden utilizarse cuando los factores son rendimientos. En caso de que los factores sean rendimientos, los dos enfoques no son necesariamente equivalentes. La regresión de series temporales estima la prima de los factores como el rendimiento medio. Por lo tanto, cualquier factor recibe un error de fijación de precios nulo en la muestra. Esto equivale a forzar el intercepto en el corte transversal a cero. Para que los dos métodos sean equivalentes, tendrá que incluir el factor también como activo de prueba. Si se hace esto, el uso de los errores estándar correctos producirá las mismas estimaciones para los precios del riesgo.
