Paradojas de las finanzas cuantitativas

Question

Todo el mundo parece estar de acuerdo en que los precios de las opciones predichos por el modelo Black-Merton-Scholes no coinciden con lo que se observa en la realidad. Aun así, mucha gente confía en el modelo utilizando "el número equivocado en la fórmula equivocada para obtener el precio correcto".

Pregunta. ¿Cuáles son algunas de las contradicciones más importantes que se encuentran en las finanzas cuantitativas? ¿Existen incoherencias independientes del modelo? ¿Algunas de estas aparentes paradojas nacen más iguales que las otras (es decir, conducen a mejores modelos)?

Me gustaría limitar el alcance de la pregunta a las contradicciones que surgen en finanzas cuantitativas (por lo que las paradojas bien documentadas de la economía y la teoría de la probabilidad, como la La paradoja de San Petersburgo o Paradoja de Allais se excluyen deliberadamente).

Editar (en relación con el comentario de Shane). Espero que esta pregunta tenga un enfoque diferente y un alcance un poco más limitado que la pregunta anterior relativa a los conceptos más peligrosos en el trabajo de las finanzas cuantitativas . Por ejemplo, utilizar el VaR "ingenuamente" no conduce a contradicciones inmediatas como lo hace la aplicación ingenua del modelo BS. El VaR puede considerarse inadecuado porque subestima gravemente los riesgos de cola, pero no es contradictorio en sí mismo (por favor, corríjanme si me equivoco). Del mismo modo, la HME en sus formas más débiles puede no ser incoherente con la realidad del mercado (al menos lo contrario no se ha demostrado aún de forma decisiva).

Answer 1

En el ámbito de los tipos de interés hay una paradoja en las condiciones actuales del mercado (es decir, desde la crisis) que es bastante difícil de entender.

Esto es el hecho de que se necesitan varias curvas para tener un precio correcto de los derivados de interés simple como el Swap con índice flotante fijado a alguna referencia del Libor.

En términos sencillos y crudos, hay que construir primero una curva de descuento (generalmente basada en la curva de swap OIS) y luego utilizar esta curva para calcular algún tipo de Libor a plazo "ajustado" (procedimiento que califico impropiamente de "forwarding"). Los tipos Libor a plazo solían calcularse descontando y "adelantando" (perdón por el término) en la misma curva.

Esto se debe a que los diferenciales, antes insignificantes, entre las curvas OIS y Libor son ahora lo suficientemente grandes como para generar un arbitraje significativo si no se tienen en cuenta adecuadamente.

La paradoja proviene del hecho de que la teoría "habitual" de la fijación de precios de los derivados lineales de los tipos de interés afirma que sólo puede haber una curva para descontar los flujos de caja y "adelantar" las referencias del índice flotante, ya que de lo contrario se produce un arbitraje.

Además, la curva de descuento correcta puede ser aún más problemática si se trata de un comercio multidivisa (entonces la moneda y el tipo de interés de la garantía son aspectos importantes de este tema).

La extensión del marco de la multicurva al Precio Neutral de Riesgo no es fácil de implementar y se han publicado muchos intentos. Añadiré algunas referencias cuando tenga suficiente tiempo,

He aquí algunas referencias sobre el tema:

• Fujii, Shimada, Takahashi - "Una nota sobre la construcción de curvas de intercambio múltiple con y sin garantía"
• Bianchetti - "Dos curvas, un precio"
• Henrard - "La ironía en el descuento de derivados"
• Henrard - "La ironía en el descuento de derivados II"
• Mercurio - "Los tipos de interés y la crisis crediticia, nuevas fórmulas y modelos de mercado"
• Mercurio - "Modelos de mercado Libor con base estocástica"
• Morini - "Resolver el rompecabezas del mercado de tipos de interés"
• Moreni, Pallavicini - "Modelos HJM parsimoniosos para la dinámica de las curvas de rendimiento múltiples"

Answer 2

Un libro muy bueno que aborda estos "rompecabezas de las finanzas" - ¡muy recomendable!

• Rompecabezas de las finanzas: Seis problemas prácticos y sus notables soluciones por Mark P. Kritzman

Las paradojas que se tratan aquí son:

• La paradoja de Siegel.
• Probabilidad de pérdida.
• Diversificación del tiempo.
• Por qué el rendimiento esperado no es de esperar.
• ¿Mitad de acciones todo el tiempo o todas las acciones la mitad del tiempo?
• La irrelevancia del rendimiento esperado en la valoración de las opciones.

Answer 3

También existe la llamada paradoja de Hakansson que se encuentra en Artículo de Derman en la replicación dinámica.

La llamada paradoja de Hakansson (Hakansson 1979, Merton 1992) encierra el escepticismo sobre la replicación dinámica: si las opciones sólo pueden tener un precio porque pueden ser replicadas, entonces, puesto que pueden ser replicadas, ¿por qué son ¿Por qué son necesarias?

Answer 4

Ley del Arcoseno de Levy para el movimiento browniano es bastante paradójico.

Si tuvieras que adivinar la cantidad de tiempo que una trayectoria browniana pasa por encima o por debajo de cero, ¿qué porcentaje de tiempo supondrías intuitivamente que es el más probable?

Yo habría supuesto que el 50:50 por arriba y por abajo debería ser el caso más probable.

Esto es erróneo y la Ley de Arcoseno de Levy explica la distribución correcta: Que la cantidad de tiempo $T_t$ que el movimiento browniano pasa en la media línea positiva $[0,\infty)$ durante el periodo $[0,t]$ . Entonces, para cualquier $0\le p \le 1$ y cualquier $t\ge 0$ tenemos $$P(T_t\le p t)=\frac{2}{\pi}\arcsin \sqrt{p} = \int_0^p\frac{1}{\pi \sqrt{u(1-u)}}du.$$ La integral muestra que la masa de probabilidad es mínimo ¡para el caso 50:50!

El siguiente gráfico muestra la distribución de probabilidad para $p$ :

El teorema se puede demostrar utilizando el teorema de representación de Feynman-Kac.

Para más detalles, véase el libro de M. Steele Stochastic Calculus and Financial Applications.

Answer 5

La paradoja de Parrondo es una paradoja de la teoría de juegos que describe una estrategia perdedora que gana a largo plazo. Sin embargo, parece que la paradoja sólo se utiliza en los libros de texto de finanzas y tiene pocas aplicaciones en la práctica.