Intuición para el ajuste de convexidad para los swaps de inflación de año en año

Question

Estoy tratando de entender la intuición detrás de por qué se requiere un ajuste de convexidad al calcular la tasa YoY en swaps de inflación.

(Suponga que no hay rezagos para simplificar). El índice de inflación actual es 100. La tasa de inflación de bono cero a 3 años en el mercado es del 3%. La tasa de inflación de bono cero a 4 años en el mercado es del 4%.

Esto significa que el índice de inflación proyectado en el año 3 = 100 x (1+3%)^3 = 109.2727 El índice de inflación proyectado en el año 4 = 100 x (1+4%)^4 = 116.985856

Por lo tanto, la tasa YoY entre los años 3 y 4 = 116.985856 / 109.2727 - 1 = 7.0586%.

Sin embargo, la literatura le dice que necesita agregar un ajuste de convexidad a esto y estoy tratando de entender por qué. Ambos los de 3 años y 4 años se basan en proyecciones de mercado, entonces, ¿no debería seguir la tasa YoY también basada en eso?

Answer 1

Los ajustes de convexidad son necesarios debido a los instrumentos naturales que se utilizan para construir una cartera delta-hedged dejando riesgos residuales de gamma. Estos son los instrumentos que dan lugar al llamado numerario.

Otra forma de expresar esto es diciendo que si tomas un instrumento y lo delta hedgeas con instrumentos naturales, entonces si prefieres estar posicionado en cualquier dirección después de la aplicación de los delta hedges, debe haber un ajuste de convexidad para reflejar esa preferencia.

Piensa en algunos de estos ejemplos (hay otros) y si se requiere un ajuste de convexidad:

• Un IRS con un desfase de pago de 30 días delta hedgeado con un IRS natural con desfase de 2 días. (sí, hay una preferencia en la dirección)
• Un futuro STIR hedgeado por un IRS de un solo periodo. (sí, hay una preferencia en la dirección)
• Un IRS de 3y1y hedgeado por un IRS de 4y y un IRS de 3y. (no, no hay preferencia)

La razón por la cual una cartera delta-hedged de este tipo tendría riesgos cruzados de gamma es porque una cartera delta-hedged no generará (ni perderá) cualquier PnL si el mercado de CPI cambia, sin embargo, su perfil de efectivo cambiará, el hedge de 3y ZCIS pagará un flujo de efectivo neto en la madurez de 3y, mientras que el 3y1y y 4y ZCIS pagarán flujos de efectivo en el punto de 4y, cuando el mercado de CPI se mueve alrededor de estos flujos de efectivo cambiarán en escala creando riesgos de desestimación.

No he operado mucho con ZCIS, pero si tuviera que analizarlos, este sería mi proceso.

1. Configura un mercado en línea con tus datos:

   from rateslib import * # Python 3.12, rateslib 1.6.0

   disc_curve = Curve({dt(2024, 12, 2): 1.0, dt(2027, 12, 2): 1.0, dt(2028, 12, 10): 1.0}, calendar="nyc", id="sofr") index_curve = IndexCurve({dt(2024, 12, 2): 1.0, dt(2027, 12, 2): 1.0, dt(2028, 12, 10): 1.0}, id="us_cpi", index_base=100.0)

   solver = Solver( curves=[disc_curve, index_curve], instruments=[ IRS(dt(2024, 12, 2), "3y", spec="usd_irs", curves="sofr"), IRS(dt(2024, 12, 2), "4y", spec="usd_irs", curves="sofr"), ZCIS(dt(2024, 12, 2), "3y", convention="1+", frequency="A", curves=["us_cpi", "sofr"], leg2_index_base=100.00, leg2_index_method="daily"), ZCIS(dt(2024, 12, 2), "4y", convention="1+", frequency="A", curves=["us_cpi", "sofr"], leg2_index_base=100.00, leg2_index_method="daily"), ], s=[3.9, 3.8, 3.0, 4.0], # tasas de mercado incluyendo tu 3% y 4% instrument_labels=["ir3y", "ir4y", "cpi3y", "cpi4y"] )

2. Verifica el valor de tu sugerido intercambio 3y1y ZCIS:

   zcis = ZCIS(dt(2027, 12, 2), "1y", convention="1+", frequency="A", curves=["us_cpi", "sofr"], leg2_index_method="daily", notional=100e6)

   zcis.rate(solver=solver)

   7.058630

3. Propón delta hedges utilizando los instrumentos naturales 3y y 4y ZCIS, y verifica los riesgos delta:

   hedge1 = ZCIS(dt(2024, 12, 2), "3y", notional=94.625e6, convention="1+", frequency="A", curves=["us_cpi", "sofr"], leg2_index_base=100.00, leg2_index_method="daily") hedge2 = ZCIS(dt(2024, 12, 2), "4y", notional=-91.5148e6, convention="1+", frequency="A", curves=["us_cpi", "sofr"], leg2_index_base=100.00, leg2_index_method="daily")

   pf = Portfolio([zcis, hedge1, hedge2]) pf.delta(solver=solver).style.format(precision=0)

4. Verifica los riesgos cross-gamma y descubre si hay una preferencia

   pf.gamma(solver=solver).style.format(precision=0)

Entonces existen riesgos cruzados de gamma resultantes. Suponiendo que todos los instrumentos (tasas y cpi) están correlacionados con la misma volatilidad, todo esto se compensa a un valor pequeño, por lo que es difícil determinar cuál es la preferencia en la dirección (si es que hay alguna). Estoy seguro de que la literatura intenta desglosar todo esto en ecuaciones de forma cerrada (lo cual he hecho en el pasado para los ajustes de convexidad en swaps de cupón cero vs IRS).