Tratando de derivar algunas propiedades del movimiento browniano geométrico

Question

Estoy tratando de derivar algunas propiedades de la marcha geométrica browniana:
$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$

Estoy interesado en analizar trayectorias que 'sobreviven' a un límite inferior $X$ es decir, que siempre permanecen por encima de $X$ durante el tiempo $T$.

He descubierto que la probabilidad de supervivencia se puede calcular mediante: $P\left( S_t > X, \, \forall t \in [0, T] \right) = \Phi\left( \frac{\ln\left(\frac{S_0}{X}\right) + \left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) - \left( \frac{X}{S_0} \right)^{\frac{2\mu}{\sigma^2}-1} \Phi\left( \frac{-\ln\left(\frac{S_0}{X}\right) + \left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right)$

Estoy interesado en tres cosas:

1. ¿Cuál es el valor esperado de $S_T$ de todas las trayectorias que 'sobrevivieron' y nunca cayeron por debajo de $X$?
   $\mathbb{E}[S_T \mid S_t > X, \forall t \in [0, T]]$
2. ¿Cuál es la varianza de $S_T$ de las trayectorias sobrevivientes?
3. Para las trayectorias que tocaron o cayeron por debajo de $X$: ¿Cómo puedo calcular el tiempo esperado en que el precio cayó por debajo?

idealmente estoy buscando una fórmula y una prueba simple, pero si alguien puede darme un enlace a un artículo o términos de búsqueda, también sería de gran ayuda. ¡Gracias!

Answer 1

Puedes empezar escribiendo exactamente lo que necesitas

1. Llama $M_T = \min_{t
2. para la media, supongo que quieres $\mathbb{E}[S_T \mid M_T > X] = \frac{\mathbb{E}[S_T \mathbb{1}_{M_T > X}]}{P(M_t>X)}$
3. 2do momento, similar: $\mathbb{E}[S_T^2 \mid M_T > X] = \frac{\mathbb{E}[S_T^2 \mathbb{1}_{M_T > X}]}{P(M_t>X)}$

Y a partir de esto la varianza. ¿Estás de acuerdo hasta ahora? (Para tu punto 3, sería mejor explicarlo detalladamente, huele a tiempo local).

Ya tienes una fórmula para $P$. El numerador para la media es el mismo que el de una opción de venta hacia abajo y hacia afuera con strike 0 (para las cuales hay fórmulas).

La única manera que conozco de obtener $\mathbb{E}[S_T^2 \mid M_T > X]$ es mediante la replicación con una cartera de opciones de venta hacia abajo y hacia afuera (con múltiples strikes).

Si haces lo anterior, verifica cuidadosamente que estás manejando correctamente el factor de descuento.

Alternativamente, podrías estudiar la derivación del $P$ que copiaste arriba y ver si puedes obtener la distribución conjunta de $S_T$ y $M_T$.

Puedes encontrar algo muy similar en Karatzas & Shreve en la proposición 8.1, pero es para un Movimiento Browniano sin deriva (que es lo que tienes). Esta pregunta pregunta lo mismo: https://math.stackexchange.com/questions/3333028/joint-density-function-of-brownian-motion-with-drift-and-its-running-maximum

Una vez que lo obtengas, simplemente intégralo.