Fórmula de volatilidad del caplet

Question

Considere un casquillo de ATM con vencimiento $T$ y entrega $T+\tau$. En el libro Interest Rate Models (Brigo and Mercurio), página 81, los autores definen la volatilidad del casquillo del modelo como el valor único de $\sigma$ tal que la fórmula $$P(0,T+\tau)\cdot \tau f_\tau(T;0)\left(2\Phi \left( \frac{\sqrt{T}\sigma}2\right)-1\right) = (P(0,T) - P(0,T+\tau))\left(2\Phi \left( \frac{\sqrt{T}\sigma}2\right)-1\right) $$ es igual al precio del caplet producido por el modelo en cuestión. Aquí $f_\tau(T;t)$ está definido (página 12, (1.20)) por

$$ f_\tau(T;t) = \frac{1}{\tau} \left( \frac{P(t,T)}{P(t,T+\tau)} -1 \right).$$

Entonces, dicen

El lado izquierdo es la fórmula Black en el mercado para un casquillo ATM con vencimiento $T$ y madurez $(T+\tau)$ at-the-money.

Así que mi pregunta es, ¿de dónde proviene esta expresión en el libro del autor? ¿Por qué aparece la tasa forward $f_\tau(T;0)$?

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Nota: el error fue usar el modelo incorrecto, pero dejo la computación aquí (para precios de bonos lognormales, no tasas forward). Si consideramos la martingala $F_t = \frac{P(t,T+\tau)}{P(t,T)}$ en la medida forward de $T$, y notamos que $1+\tau f_\tau(T;t) = F_t^{-1}$ entonces es claro que un casquillo de ATM da un put de bono en ATM, y la fórmula para el put de bono es $$ P(t) = P(t,T) (K \Phi(-z_-) - F_t \Phi(-z_+)) $$ donde $z_{\pm} = \dfrac z \sigma - \dfrac \sigma 2$ y $z = \log \frac{F_t}K$ es la log-monetariedad. Cuando la opción está en el dinero, $z=0$, $K = F_t$ y $F_t P(t,T) = P(t, T+\tau)$, entonces $$ P_{\mathsf{ATM}}(0) = P(0,T+\tau) \left(2\Phi \left(\frac\sigma 2\right) - 1\right) $$ y multiplicando por $F_0^{-1}$ da el prefactor $P(0,T)$ en lugar para el casquillo.

Answer 1

Para aclarar cualquier duda, escribiré el cálculo aquí.

Para ser concreto, permitimos que $f(t) = f_\tau(T;t)$ para algún intervalo $[T,T+\tau]$, asumimos que bajo la medida forward de $T+\tau$ tenemos que $df(t) = \sigma(t) f(t) dW(t)$ donde $\sigma(t)$ es alguna función determinística de $t$. Por lo tanto, nuestro numerario es el proceso $P(t,T+\tau)$.

Bajo el modelo Black, el precio de un caplet de entrega de $T+\tau$ vencimiento con strike $K$ está dado por la fórmula de Black $$ \mathsf{BlackCaplet}_\tau(T,K;t) = P(t,T+\tau) \tau \left( f(t) \Phi\left( z_+ \right) - K \Phi\left( z_{-}\right) \right). $$ donde $z_\pm = \frac{z}{\sigma} \pm \frac{\sigma}{2}$, $z = \log \frac{f(t)}K$ es el log-moneyness y $\sigma^2 = \int_t^T \sigma(s)^2 ds$ es la volatilidad del término.

Prueba. Usando la fórmula de Ito, vemos que
$$d \log f(t) = \sigma dW(t) - \frac 12 \sigma^2 dt$$ por lo que $$ \log f(T) = \log f(t) + \int_t^T \sigma(s)dW(s) - \frac 12 \int_t^T \sigma(s)^2 ds.$$ El pago de un caplet de vencimiento $T$ con strike $K$ en el tiempo $T$ es $\tau (f(T) - K)^+$, por lo que sabemos que el precio justo de un caplet en el tiempo $t$ es $$ \mathsf{BlackCaplet}_\tau(T,K;t) = \tau P(t,T+\tau) \mathbb{E}((f(T)-K)^+ \mid \mathcal F_t) $$ donde el valor esperado se toma bajo la medida forward de $T+\tau$. Dado que, condicional a $\mathcal F_t$, $\log f(T)$ es normal, vemos que queremos calcular $$ \mathbb{E}((X-K)^+) \text{ donde }\log X \sim N(\mu, \sigma^2) $$ donde $\mu = \log f(t) - \frac 12 \int_t^T \sigma(s)^2 ds$ y $\sigma^2 = \int_0^T \sigma(t)^2 dt$. Un cálculo rutinario muestra que en este caso $$ \mathbb E((X-K)^+) = f(t) \Phi\left( z_+ \right) - K \Phi\left( z_{-}\right) . $$
donde $z_\pm = \frac{z}{\sigma} \pm \frac{\sigma}{2}$ y $z = \log \frac{f(t)}K$ es el log-moneyness. Esto da la fórmula.

Cuando el caplet está en el dinero, obtenemos

$$ \mathsf{BlackCapletATM}_\tau(T;t) = P(t,T+\tau) f_\tau(T;t) \tau \left( 2\Phi\left(\frac\sigma 2\right) -1 \right) $$

que es la fórmula en el libro.