¿Se generaliza el resultado de preferencia revelada "equivalencia de utilidad y utilidad cóncava" a datos infinitos?

Question

Aquí está el clásico teorema de Afriat para preferencia revelada:

Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

1. El conjunto de datos finito satisface GARP
2. El conjunto de datos finito es racionalizado por una función de utilidad no saciada
3. El conjunto de datos finito es racionalizado por una utilidad cóncava, monótona, continua

Estoy interesado en las condiciones 2 y 3. Si consideramos datos infinitos en su lugar, la equivalencia entre 2 y 3 parece no cumplirse.

Me pregunto si hay algún resultado similar (por ejemplo, la equivalencia entre 2 y 3' donde 3' es una modificación de 3), para conjuntos de datos infinitos.

Referencia:

Answer 1

El documento [Reny, Philip J. "Una caracterización del comportamiento del consumidor racionalizable." Econometrica 83.1 (2015): 175-192.] responde a la pregunta. Aquí está el resumen:

Para un conjunto de datos arbitrario $D =\{(p,x)\}\subseteq (\mathbb{R}_+^m\setminus\{0\})\times\mathbb{R}_+^m$, finito o infinito, se muestra que las siguientes tres condiciones son equivalentes: (a) $D$ satisface GARP; (b) $D$ puede ser racionalizado por una función de utilidad; (c) $D$ puede ser racionalizado por una función de utilidad que es cuasicóncava, no decreciente, y que aumenta estrictamente cuando todos sus coordenadas aumentan estrictamente. Se proporcionan ejemplos de conjuntos de datos infinitos que satisfacen GARP, para los cuales cada racionalización de utilidad falla en ser semicontinua inferior, semicontinua superior o cóncava. Por lo tanto, la condición (c) no puede ser mejorada sustantivamente.

Reny especifica conjuntos de datos sin ingresos; la manera en que lo define, una función de utilidad $u$ racionaliza $D$ si para cada $(p,x)\in D$, $x$ maximiza $u$ entre los paquetes que cuestan como máximo $p\cdot x$. El conjunto de datos no permite observar el dinero no gastado.